1-2数列与函数的极限.pptVIP

函数与极限 1.4 函数的极限 1.4.1数列极限 四、数列极限的性质 1.4.3、无穷小与无穷大 一、无穷小 二、无穷大 三、无穷小与无穷大的关系 证 定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. 意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论. * 引例 如可用渐近的方法求圆的面积S？ 用圆内接正多边形的面积近似圆的面积S. A1 A2 A3 A1表示圆内接正6边形面积, A2表示圆内接正12边形面积, A3表示圆内接正24边形面积, An表示圆内接正6?2n-1边形面积, ? ? ? ? ? ?, ? ? ? ? ? ? . 显然n越大, An越接近于S. 因此, 需要考虑当n??时, An的变化趋势. 数列 如果按照某一法则, 对每一n?N?, 对应着一个确定的实数xn, 则得到一个序列 x1, x2, x3, ? ? ? , xn , ? ? ? , 这一序列叫做数列, 记为{xn}, 其中第n项xn叫做数列的一般项. 数列举例: 2, 4, 8, ? ? ? , 2n , ? ? ? ; 1, -1, 1, ? ? ? , (-1)n+1, ? ? ? . x1 x5 x4 x3 x2 xn 数列{xn}可以看作数轴上的一个动点, 它依次取数轴上的点x1, x2, x3, ? ? ? , xn , ? ? ?. 数列的几何意义 数列 如果按照某一法则, 对每一n?N?, 对应着一个确定的实数xn, 则得到一个序列 x1, x2, x3, ? ? ? , xn , ? ? ? , 这一序列叫做数列, 记为{xn}, 其中第n项xn叫做数列的一般项. 数列{xn}可以看作自变量为正整数n的函数: xn=f(n), n?N? . 数列与函数 数列 如果按照某一法则, 对每一n?N?, 对应着一个确定的实数xn, 则得到一个序列 x1, x2, x3, ? ? ? , xn , ? ? ? , 这一序列叫做数列, 记为{xn}, 其中第n项xn叫做数列的一般项. 例如 当n无限增大时, 如果数列{xn}的一般项xn无限接近于常数a, 则常数a称为数列{xn}的极限, 或称数列{xn}收敛a, 记为 数列极限的通俗定义 当n无限增大时, xn无限接近于a . ?当n无限增大时, |xn-a|无限接近于0 . ?当n无限增大时, |xn-a|可以任意小, 要多小就能有多小. ?当n增大到一定程度以后, |xn-a|能小于事先给定的任意小的正数. 分析 因此, 如果 n 增大到一定程度以后, |xn-a|能小于事先给定的任意小的正数, 则当n无限增大时, xn无限接近于常数a. 当n无限增大时, 如果数列{xn}的一般项xn无限接近于常数a, 则数列{xn}收敛a. 数列极限的精确定义 如果不存在这样的常数a? 就说数列{xn}没有极限? ??? ?0, ?N?N?? 当n?N时? 有|xn?a|?? . 极限定义的简记形式 几何解释: 其中 分析: 例1 证明 ??? ?0, ?N?N?? 当n?N时? 有|xn?a|?? . 定理1 收敛的数列必定有界. 注意：有界性是数列收敛的必要条件. 推论 无界数列必定发散. 定理2 每个收敛的数列只有一个极限. 类似地可定义 如果当|x|无限增大时? f(x)无限接近于某一常数A? 则常数A叫做函数f(x)当x??时的极限? 记为 1.自变量趋于无穷大时函数的极限 ??? ?0? ?X?0? 当|x|?X时? 有|f(x)?A|?? ? 精确定义 结论 1.4.2、函数的极限 ??? ?0? ?X?0? 当|x|?X时? 有|f(x)?A|?? ? 极限的定义的几何意义 ?? ?0: ?X?0: 当|x|X时? 有|f(x)-A|e: 分析? 例 证明 ??? ?0? ?X?0? 当|x|?X时? 有|f(x)?A|?? ? 如果当x无限地接近于x0时? 函数f(x)的值无限地接近于常数A? 则常数A就叫做函数f(x)当x?x0时的极限? 记作 函数极限的的通俗定义 2.自变量趋于有限值时函数的极限 分析: 当x?x0时? f(x)?A? ?当|x-x0|?0时? |f(x)-A|?