角动量 角动量守恒x.pptVIP

4.8 7.8 * 以圆心为原点,对圆心的角动量： 4-3 角动量 1.质点的角动量 L=r×p 大小 L=rpsin?=r mvsin? 方向 L垂直r与p组成的平面, 且与r, p成右手螺旋. r ? F ? v m 2.质点对原点的力矩 大小 M=rFsin? M=r×F 若质点作圆周运动 L=rpsin?=r mvsin90° = rmv = mr2ω o 方向 垂直转动平面 方向 平面,与r,F成右手螺旋. M垂直r与F 组成的平 4.质点角动量定理 质点所受合外力矩等于 其角动量对时间的变化率. M=dL/dt 质点所受对参考点o的合力矩为零时，质对该参考点o 的角动量为一恒矢量. 对同一参考点 ，质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量. 质点的角动量守恒定律 冲量矩 质点的角动量定理： 若M=0 L为恒矢量 一.刚体角动量定理 1.刚体受的力矩 质元Δmi受外力Fi, 其他质元给它的内力fi. ∑Mi=∑ri×(Fi+fi) =∑ri×Fi+∑ri×fi 内力矩 外力矩 所有内力矩矢量和为零 刚体所受力矩等于外力矩 的矢量和 M=∑ri×Fi 2.刚体定轴转动的角动量L dL=?mirivi =?miriri? =?miri2? L=∑?miri2? L=(∑?miri2)? =J? 方向：沿轴向 所有质元的角动量方向相同 O L的方向：沿轴向 任一质元的角动量dL 3.刚体的角动量定理 第i个质元 Mi=dLi/dt 求和 ∑Mi=∑(dLi/dt) =d(∑Li)/dt 得 M =dL/dt 刚体合外力矩M 等于刚体角动量L 对时间的变化率 = dL =L2–L1 =J2ω2–J1ω1 Mdt 合外力矩的冲量矩等于刚 体角动量的增加 4.角动量守恒定律 对于刚体定轴转动. 条件: 结论: M外=0 L=恒量 讨论: (2)当M外M内时, L?恒量; (3)当J=恒量时, ω=恒量 ω大小方向不变(如回转仪); (4)当J改变时(内力作功使质 量重新分布),ω大小改变,但 方向不变; (1)内力矩不改变系统的角动量，角动量守恒是自然界的一条基本定律 角动量守恒定律在技术中的应用 （1)力矩作功 合外力矩的功 令M=?Mi = (Jdω/dt)·dθ = Jω·dω =Jω22/2 –Jω12/2 (2)转动动能 Ek=?(?mivi2/2) =?(?miri2ω2/2) =(??miri2)ω2/2 =Jω2/2 (3)刚体定轴转动的动能定理 A= M·dθ =Ek2–Ek1 合外力矩的功等于刚体转动 动能的增加. W= Mdθ = (Jβ)·dθ W= Mdθ 五.转动中的功和能 v0 m d 例5.如图,长L质量M的均匀细杆上端用光滑水平轴吊起而静止下垂.质量m的子弹以v0水平射入杆悬点下距离d处而留在其中.求子弹射入杆后杆的角速度ω Mg C f N 解: 在打击的一瞬间,子弹与杆受重力与轴处的力均过轴, 合外力矩为零,角动量守恒 md2(v0/d) (md2+ML2/3)ω ω=3mv0d/(3md2+ML2) 以子弹和杆构成系统 碰撞前系统角动量： 碰撞后系统角动量： –lgsin?d? = vdv 例5. 质量M的冲击摆静止于平衡点,质量m的子弹以v0水平射入冲击摆并 留 在 其内, 求摆线偏转最大角. m v0 M ? G T 子弹射入瞬间, 系统受重力和 摆 线张力(动量不守 恒,水平动量守恒) 过转轴,合外力矩 为零,角动量守恒. lmv0=l(M+m)v v=mv0/(M+m) 摆动过程中, M+m受力如图. 依质点角动量定理,有 –(M+m)lgsin?=d[l(M+m)v]/dt –gsin?=(dv/d?)(v/l) –gsin? =dv/dt =(dv/d?)(d?/dt) –v2/2=lg(cosθ–1) 解: M=dL/dt –lgsin?d? = vdv 求摆线偏转最大角. m v0 M ? G T 解: 子弹射入瞬间, 系统受重力和 摆 线张力(动量不守 恒,水平动量守恒) 过转轴,合外力矩 为零,角动量守恒. lmv0=l(M+m)v v=mv0/(M+m) 摆动过程中, M+m受力如图. 依质点角动量定理,有 –(M+m)lgsin?=d[l(M+m)v]/dt –gsin?=(dv/d?)(v/l) –gsin? =dv/dt =(dv/d?)(d?/dt) –v2/2=lg(cosθ–1) cos?=1–v2/(2lg) =1–m2v02/[2lg(M+m)2] 摆线偏转的最大角度