概统(第一章).pptVIP

例 袋中有6只球，其中，4只白球，2只红球，从袋中取球两次，每次随机取一只，考虑两种取球方式：①第一次取一只球，观察其颜色后放回袋中，搅匀后再取一球；②第一次取一球不放回袋中，第二次从剩余的球中再取一球。 求：（1）取到的两只球都是白球的概率； （2）取到的两只球颜色相同的概率； （3）取到的两只球中至少有一只是白球的概率。 （1）放回抽样 以A、B、C分别表示事件“取到的都是白球”，“取到的都是红球”，“两只球至少有一只白球” ?：n ? =6×6=36 对于事件A而言，两次取到的都是白球， nA=4×4=16，同理， nB=2×2=4 因此，P（A）=16/36 P（B）=4/36 取到颜色相同的球为A+B P（A+B）=P(A)+P(B)- P(AB)= P(A)+P(B) P（C）=1-P(B) （2）不放回抽样 ?：n ? =6×5=30 对于事件A而言，两次取到的都是白球， nA=4×3=12，同理， nB=2×1=2 因此，P（A）=12/30 P（B）=2/30 取到颜色相同的球为A+B P（A+B）=P(A)+P(B)-P(AB)= P(A)+P(B) P（C）=P（B）=1-P（B） 例 袋中有a 只白球，b 只红球，从袋中按 不放回与放回两种方式取m个球（ ), 求其中恰有 k 个 （ ）白球的概率 解 （1） E1：不放回，球编号，每次任取一球，记下颜色，放在一边，重复 m 次 ?: 记事件 A 为m个球中有k个白球，则 则 （2） E2: 不放回，球编号, 一次取 m 个球,记下颜色 ?1: 记事件 A 为m个球中有k个白球，则 不放回地逐次取 m 个球, 与一次任取 m 个 球算得的结果相同. 因此 称超几 何分布 （3） E3：放回情形， 球编号, 任取一球, 记下颜色, 放回去，重复 m 次 ?2: 记 B 为取出的 m 个球中有 k 个白球, 则 称二项分布 例 某箱中装有m+n个球，其中m个白球，n个黑球。(1)从中任意抽取r+s个球，试求所取的球中恰好有r个白球和s个黑球的概率； 解 试验E：从m+n球中取出r+s个，每r+s个球构成E的一个基本事件，不同的基本事件总数为 　设事件A：“所取的球中恰好有r个白球和s个黑球”，总共有多少个基本事件呢？ 所以，事件A发生的概率为 (2)从中任意接连取出k+1(k+1≤m+n)个球，如果每一个球取出后不还原，试求最后取出的球是白球的概率。 解 试验E：从m+n球中接连地不放回地取出k+1个球每k+1个排好的球构成E的一个基本事件，不同的基本事件总数为 设事件B：“第k+1个取出的球是白球”， 由于第k+1个球是白球，可先从m个白球中取一个留下来作为第k+1个球，一共有 其余k个球可以是余下的m+n-1个球中任意k个球的排列，总数为 种保留下来的取法， 事件B所包含的基本事件总数为 所以最后所取的球是白球的概率为 注：P(B)与k无关，即不论是第几次抽取，抽到白球的概率均为 设有 k 个不同的球, 每个 球等可能地落入 N 个盒子中（ ）, 设 每个盒子容球数无限, 求下列事件的概率: （1）某指定的 k 个盒子中各有一球； （4）恰有 k 个盒子中各有一球； （3）某指定的一个盒子没有球； （2）某指定的一个盒子恰有 m 个球(m≤K) （5）至少有两个球在同一盒子中； （6）每个盒子至多有一个球. 例 （分房模型） 解 设 (1) ~ (6)的各事件分别为 则 一般地，把n个球随机地分配到N个盒子中去(n?N)，则每盒至多有一球的概率是： 上例的“分房模型”可应用于很多类似场合 “球”可 视为 人 “盒子” 相应 视为 房子 信封 信 钥匙 门锁 女舞伴 生日 人 男舞伴 旅客 车站 印刷错误 页码 例 “分房模型”的应用 我们班共有 n 个人，求至少有两人生日相同（设为事件A ) 的概率. 解 为 n 个人的生日均不相同,这相当于 本问题中的人可被视为“球”，365天为 365只“盒子” 若 n = 64， 每个盒子至多有一个球. 由例4（6） 例 把标有 1,2,3,4 的 4 个球随机地放入 标有1,2,3,4 的 4 个盒子中，每盒放一球， 求至少有一个盒子的号码与放入的球的号 码一致的概率 解 设 A 为所求的事件 设 Ai 表示 i 号球入 i 号盒， i = 1,2,3,4 则 由广义加法公式 (4) (5) (6) (7) (8) 如图,事件A,B,C都相容，即