数值积分矩形公式的复化及误差分析.docVIP

数值积分矩形公式的复化及误差分析 张晓霞 （西北师范大学 数学与信息科学学院 甘肃 兰州 730070） 摘 要： 先推导得出中矩形公式、左矩形公式,然后对其进行复化，但由于结果不理想,再对两个公式进行递推,求出它们的递推化公式以及对其误差进行分析,最后举例说明几种逼近公式误差的变化情况; 关键词：中矩形公式,左矩形公式,误差分析,复化公式,公式递推化 1 引言 以前我们在进行积分运算时,都是先对被积函数求出其原函数,然后代值进行计算,但不是每个被积函数都是能轻易找到其原函数的,有的甚至找不到它的原函数,这就要求我们找出另外一种方法来研究积分运算．,由积分中值定理知,一点,使得=(b-a)() A． 若用区间左端点a的函数值(a)作为()的近似值,则得到我们熟悉的左矩形公式： ,其积分余项 （1） B． 若改用区间中点 的函数值作为的近似值,则得到中矩形公式： ,其积分余项 （2） 由于我们导出的左矩形公式和中矩形公式对积分值的近似估计误差很大,所以我们采用复化求积公式来近似估计积分的准确值． 2复化公式 所谓复化[1]就是指将一个积分的积分区间划分为等分,在每一个小区间上应用左、中矩形公式求出积分值,然后对求和,近似估计出积分的积分值的算法． 2．1复化左矩形公式 将积分区间划分为等分,步长,分点 对每一个小区间采用左矩形公式有 （3） 称为复化左矩形求积公式,下标表示将区间划分为等分． 2．2复化中矩形公式 类似于复化左矩形公式,对每一个小区间采用中矩形公式,且令,则有 （4） 称为复化中矩形求积公式,下标表示将区间划分为等分．[3] 3复化公式的误差分析 3．1 复化左矩形公式的误差估计公式 由(1)式对每个小区间有误差估计式 其中介于,之间,将上式代入(3)中则有 从而复化左矩形公式的误差估计式为 由于在上连续,均为的内点,所以由中值定理知,存在一点,使得,所以有 , （5） 称为复化左矩形公式的误差估计式,下标表示将区间划分为等分． 3．2复化中矩形公式的误差估计公式 类似于复化左矩形的误差公式,同样可得复化中矩形公式的误差估计公式 其中,由于在上连续,均为的内点,所以由中值定理知,存在一点,使得 ,所以有 , （6） 4矩形公式的递推化 虽然复化求积方法对提高精度是行之有效的,但在使用求积公式之前必须给出合适的步长,步长太长,精度难以保证,步长太小,又会导致计算量的增加．而事先给出一个合适的步长往往是困难的,那到底怎样选取步长才是合适的呢？ 实际计算中常常采用变步长的方案,即在步长逐次分半（即步长二分）的过程中,反复利用复化求积公式进行计算,直至所求得的积分值满足精度要求为止． 4．1左矩形公式的递推公式及误差 变步长过程中左矩形的计算规律： 将求积区间分成等份,则一共有个分点,按左矩形公式计算,需要提供个函数值,如果将积分区间再分一次,则分点增至个,将二分前后两个积分值联系起来加以考虑,注意到每个子区间经过二分只增加了一个分点,利用复化的左矩形公式求得该子区间上的积分值为,其中代表二分前的步长,将每个子区间上的积分值相加得 （7） 从而根据左矩形公式的误差公式得,积分值的截断误差大致与h成正比,因此当步长二分后,误差将减至原有误差的,即有,移项整理得,由此可见只要二分前后的两个积分值与相当接近,就可以保证计算结果误差很小,积分近似值的误差大致等于,因此,如果用这个误差值作为的一种补偿,可以期望得到的 可能是更好的结果． 4．2中矩形公式的递推公式及误差 同理对中矩形公式也一样,将求积区间分成等份,则一共有个分点,按中矩形公式计算,需要提供个函数值,如果将积分区间再分一次,则分点增至2+1个,将二分前后两个积分值联系起来加以考虑,注意到每个子区间经过二分只增加了一个分点,在上述二分后的子区间上利用复化的中矩形公式求得该子区间上的积分值为,同样代表二分前的步长,将每个子区间上的积分值相加,得 （8） 根据中矩形公式的误差公式得,积分值的截断误差大致与成正比,因此当步长二分后,误差将减至原有误差的,即有,移项整理得,同样,当二