吕 代数A CH2-3.pptVIP

1 逆矩阵的概念 §3 分块矩阵及其运算 一、分块矩阵的概念 CH2 矩阵及其运算 * 设A为n阶方阵,若存在n阶方阵B, 使 AB=BA=E. 则称A是可逆矩阵,称B为A的逆矩阵,记为A-1. 3×3-1=3-1×3=1 2 伴随矩阵 注意:元素aij的代数余子式Aij的位置! 重要公式： 回顾： 3 方阵可逆的充要条件 【定理2.2】设A是n阶方阵,则A可逆 例：设k1,k2,…, kn全不是零，则 例 解 将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多小矩阵,每个小矩阵称为A的一个子块.以这些子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵. 例如矩阵: 记为 其中： 注: 任一矩阵A有多种分块方法,常用的分块方法有: 1) 将矩阵A每一行视为子块的分块矩阵,记为: 2) 将矩阵A每一列视为子块的分块矩阵,记为: 二、分块矩阵的运算 1.分块矩阵的加法与数乘: 设矩阵A与B是同型矩阵,且分块如下: 分块矩阵的加法 分块矩阵的数乘 注:矩阵A与B有相同的分块法 设矩阵A是m×p型矩阵,B是p×n型矩阵,它们分别分块如下: 矩阵A与B的乘积AB : 2.分块矩阵的乘法 A的列的分法与 B的行的分法 完全一致 A = ， B = 。 例 按指定分块的方法，用分块矩阵乘法求矩阵的乘积AB， -1 1 1 0 3 2 1 -2 0 解： 其中 1 0 0 -1 0 1 A= ， A1 A3 A2 A4 B= 。 B1 O B2 B3 A1B1 A1B2+A2B3 A3B1 A3B2+A4B3 = AB= A1 A3 A2 A4 B1 O B2 B3 = -2 1 3 0 1 -1 + 0 -1 +(-2) 例 问矩阵B如何分块,才能与A右乘? 设矩阵 若矩阵A分块为: 解: 矩阵B的行分法只要与A的列分法相同即可: 满足条件的B的分法共有八种. 3.分块矩阵的转置 设矩阵A分块如下: 分块矩阵A的转置: 即分块矩阵转置分两步进行: (1)大矩阵转置; (2)小矩阵转置. 4 准对角矩阵 定义：称矩阵 为准对角矩阵. 注：当Ai(i=1,2, …，s）都是方阵时， ① ② ③ 当A1,A2,…,As都是方阵,且 时,A可逆 注意：两者序号的差别！