1.1.1数论简介与整除.pptVIP

初 等 数 论郑州师范学院 数统学院 陈宏道 一 初等数论及其主要内容 数论是研究整数性质的一门很古老的数学分支，其初等部分是以整数的整除性为中心的，包括整除性、不定方程、同余式、连分数、素数（即质数）分布 以及数论函数等内容，统称初等数论（elementary number theory）。 初等数论是数论中不求助于其他数学学科的帮助，只依靠初等的方法来研究整数性质的分支。 自古以来，数学家对于整数性质的研究一直十分重视，初等数论的大部份内容早在古希腊欧几里德的《几何原本》（公元前3世纪）中就已出现。欧几里得证明了素数有无穷多个，他还给出求两个自然数的最大公约数的方法，即所谓欧几里得算法。我国古代在数论方面亦有杰出之贡献，现在一般数论书中的“中国剩余定理”，正是我国古代《孙子算经》中的下卷第26题，我国称之为孙子定理。 近代初等数论的发展得益於费马、欧拉、拉格朗日、勒让德和高斯等人的工作。1801年，德国数学家高斯集中前人的大成，写了一本书叫做《算术探究》，开始了现代数论的新纪元。高斯还提出：“数学是科学之王，数论是数学之王”。 二 数论的发展史 由于自20世纪以来引进了抽象数学和高等分析的 巧妙工具，数论得到进一步的发展，从而开阔了新的研究领域，出现了代数数论、解析数论、几何数论等新分支。而且近年来初等数论在计算机科学、组合数学、密码学、代数编码、计算方法等领域内更得到了 广泛的应用，无疑同时也促进着数论的发展。 我国近代：在解析数论、丢番图方程，一致分布等方面有过重要贡献，出现了华罗庚、闵嗣鹤等一流的数论专家，其中华罗庚在三角和估值、堆砌素数论方面的研究享有盛名。 特别是在“篩法”、歌德巴赫猜想方面的研究，已取得世界领先的优异成绩。陈景潤在1966年证明歌德巴赫猜想方面证明了”1+2”(一个大偶数可以表示为一个素数和一个不超过两个素数的乘积之和) 三、几个著名数论难题 初等数论是研究整数性质的一门学科，历史上遗 留下来没有解决的大多数数论难题其问题本身容易搞懂，容易引起人的兴趣，但是解决它们却非常困难。 其中，非常著名的问题有：哥德巴赫猜想 ；费尔马大定理 ；孪生素数问题 ；完全数问题等。 1742年,由德国中学教师哥德巴赫在教学中首先发现的。1742年6月7日，哥德巴赫写信给当时的大数学家欧拉,正式提出了以下的猜想： 一个大于6的偶数可以表示为不同的两个质数之和。 陈景润在1966年证明了“哥德巴赫猜想”的“一个大偶数可以表示为一个素数和一个不超过两个素数的乘积之和”〔所谓的1+2〕，是筛法的光辉顶点，至今仍是“哥德巴赫猜想”的最好结果。 1、哥德巴赫猜想： 2、费尔马大定理： 费马是十七世纪最卓越的数学家之一，他在数学 许多领域中都有极大的贡献，因为他的本行是专业的 律师，世人冠以“业余王子”之美称。在三百七十多 年前的某一天，费马正在阅读一本古希腊数学家戴奥 芬多斯的数学书时，突然心血来潮在书页的空白处， 写下一个看起来很简单的定理。 经过8年的努力，英国数学家 安德鲁·怀尔斯 终于在1995年完成了该定理的证明。 3、孪生素数问题 存在无穷多个素数 p, 使得 p+2 也是素数。 究竟谁最早明确提出这一猜想已无法考证，但是 1849年法国数学 Alphonse de Polignac 提出猜想：对 于任何偶数 2k, 存在无穷多组以2k为间隔的素数。 对于 k=1，这就是孪生素数猜想，因此人们有时把 Alphonse de Polignac 作为孪生素数猜想的提出者。 不同的 k 对应的素数对的命名也很有趣，k=1 我们 已经知道叫做孪生素数； k=2 (即间隔为4) 的素数 对被称为 cousin prime ；而 k=3 (即间隔为 6) 的素数对竟然被称为 sexy prime (不过别想歪了，之所以称为 sexy prime 其实是因为 sex 正好是拉丁文中的 6。) 4、最完美的数——完全数问题 下一个具有同样性质的数是28, 28=1+2+4+7+14.接着是496和8128.他们称这类数为完美数. 欧几里德在大约公元前350-300年间证明了: 注意以上谈到的完全数都是偶完全数,至今仍然 不知道有没有奇完全数。 完美数又称为完全数,最初是由毕达哥拉斯的信徒发现的,他们注意到,数6有一个特性,它等于它自己的因子(不包括它自身)的和， 如：6=1+2+3. 在培养中学生思维能力方面大有作用。 四、初等数论在中小学教育中的作用 国际数学奥林匹克从1959年起到2002年已经举行了43届比赛，大致统计，在总共260道题目中，可以主要用初等数论