17-18版：2.4.2 抛物线的简单几何性质.docx

2．4.2　抛物线的简单几何性质学习目标　1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　知识点一　抛物线的范围思考　观察下列图形，思考以下问题：(1)观察焦点在x轴的抛物线与双曲线及椭圆的图形，分析其几何图形存在哪些区别？(2)根据图形及抛物线方程y2＝2px(p0)如何确定横坐标x的范围？梳理　抛物线y2＝2px(p0)中，x∈________，y∈________.抛物线y2＝－2px(p0)中，x∈________，y∈________.抛物线x2＝2py(p0)中，x∈________，y∈________.抛物线x2＝－2py(p0)中，x∈________，y∈________.知识点二　四种形式的抛物线的几何性质标准方程y2＝2px(p0)y2＝－2px(p0)x2＝2py(p0)x2＝－2py(p0)图形范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R对称轴x轴x轴y轴y轴焦点F(，0)F(－，0)F(0，)F(0，－)准线方程x＝－x＝y＝－y＝顶点坐标O(0,0)离心率e＝1通径长2p知识点三　直线与抛物线的位置关系直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p0)的交点个数决定于关于x的方程组解的个数，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数．当k≠0时，若Δ0，则直线与抛物线有________个不同的公共点；若Δ＝0时，直线与抛物线有________个公共点；若Δ0时，直线与抛物线________公共点．当k＝0时，直线与抛物线的轴________________，此时直线与抛物线有________个公共点．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　类型一　依据抛物线的几何性质求标准方程引申探究将本例改为“若抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4”，求此抛物线的标准方程．例1　抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程．　反思与感悟　用待定系数法求抛物线方程的步骤跟踪训练1　已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，|AB|＝2，求抛物线方程．　　　类型二　抛物线的焦半径和焦点弦问题例2　(1)过抛物线y2＝8x的焦点，倾斜角为45°的直线被抛物线截得的弦长为________．(2) 直线l过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线交于A，B两点，若|AB|＝8，则直线l的方程为________________．(3)过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|＝7，则AB的中点M到抛物线准线的距离为________________．反思与感悟　(1)抛物线上任一点P(x0，y0)与焦点F的连线得到的线段叫做抛物线的焦半径，对于四种形式的抛物线来说其焦半径的长分别为：①抛物线y2＝2px(p0)，|PF|＝|x0＋|＝＋x0；②抛物线y2＝－2px(p0)，|PF|＝|x0－|＝－x0；③抛物线x2＝2py(p0)，|PF|＝|y0＋|＝＋y0；④抛物线x2＝－2py(p0)，|PF|＝|y0－|＝－y0.(2)已知AB是过抛物线y2＝2px(p0)的焦点的弦，F为抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：①y1·y2＝－p2，x1·x2＝；②|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ为直线AB的倾斜角)；③S△ABO＝(θ为直线AB的倾斜角)；④＋＝；⑤以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．(3)当直线经过抛物线的焦点，且与抛物线的对称轴垂直时，直线被抛物线截得的线段称为抛物线的通径，显然通径长等于2p.跟踪训练2　已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．　　　类型三　抛物线综合问题命题角度1　与抛物线有关的最值问题例3　抛物线y2＝4x的焦点为F，点P(x，y)为该抛物线上的动点，若点A(－1,0)，求的最小值．　　反思与感悟　(1)若曲线和直线相离，在曲线上求一点到直线的距离最小问题，可找到与已知直线平行的直线，使其与曲线相切，则切点为所要求的点．(2)以上问题一般转化为“两点之间线段最短”或“点到直线的垂线段最短”来解决．跟踪训练3　已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是(　　)A．2B．3C.D.命题角度2　定值或定点问题例4　抛物线y2＝2p