02.矩阵理论与方法讲解_线性空间与线性变换.pptVIP

* * * * * * * * * * * * * Euclid空间-正交变换 定义：设 为欧氏空间， 为 的一个线性变换，如果 保持 中任意向量 的长度不变，即 则称 是 的一个正交变换。 定理：线性变换 为正交变换的充要条件是，对于欧氏空间 的任意向量 ，都有 定义：若实方阵 满足 ，则称 为正交矩阵。 定理：欧氏空间的线性变换是正交变换的充要条件是，它对于标准正交基的矩阵是正交矩阵。 * Euclid空间-对称变换 定义：设 为欧氏空间， 为 的一个线性变换，若对 中任意两个向量 ，都有 则称 为 的一个对称变换。 定理：欧氏空间的线性变换是实对称变换的充要条件是它对于标准正交基的矩阵是实对称矩阵。 定理：实对称矩阵的特征值都是实数。 定理：实对称矩阵的不同特征值所对应的特征向量是正交的。 * 酉空间 对于复数域，与欧氏空间相对应的空间是酉空间。 定义：设 是复数域 上的线性空间，定义 上的两向量到复数域的映射 ，若满足如下四个条件 交换律： ，其中 表示复数 的共轭复数； 分配律： ； 齐次性： ； 非负性： ，等号当且仅当 时成立。 则称 为向量 和 的内积，称 为酉空间（或复内积空间）。 例： 维复数向量空间中的向量内积。 * 酉空间-内积的性质 性质1. 性质2. 性质3. 性质4.（Cauchy不等式） * 酉空间-长度与角度 定义： 称为向量 的长度（模），记为 （或 ）。 定义：两个非零向量 和 的夹角 定义为： 若 ，则称 与 正交或垂直。 定理：酉空间中，任意线性无关的向量组可以用Schmidt正交化方法正交化。 推论：任意非零酉空间都存在正交基和标准正交基。 定理：任一 维酉空间 均为其子空间 和 的直和。 * 酉空间-酉变换 定义： 酉空间 线性变换 ，若满足 则称 为 的酉变换。 定理：酉空间 的线性变换 为酉变换的充要条件是对于 的任意两向量 ，都有 定理：酉变换在酉空间的标准正交基下的矩阵 是酉矩阵，即 定理：酉矩阵的逆矩阵是酉矩阵，两个酉矩阵的乘积还是酉矩阵。 * 酉空间-酉对称变换 定义： 酉空间 线性变换 ，若满足 则称 为 的Hermite变换或酉对称变换。 定理：Hermite变换在酉空间的标准正交基下的矩阵 是Hermite矩阵，即 定理：Hermite矩阵的特征值都是实数。 定理：属于Hermite矩阵的不同特征值的特征向量必定正交。 * 酉空间-酉对称变换 定理：设 的特征值为 ，则存在酉矩阵 ，使得 设 的特征值为 ，且均为实数，则存在正交矩阵 ，使得 * 酉空间-正规矩阵和对角分解 定义：设 ，且等式 成立，则称 为正规矩阵。 注：正交矩阵、对角矩阵、对称矩阵、酉矩阵、Hermite矩阵等都是正规矩阵。 定理：设 ，则 酉相似于对角矩阵的充要条件是 为正规矩阵。 定理：设 ，且 的特征值均为实数，则 正交相似于对角矩阵的充要条件是 为正规矩阵。 推论：实对称矩阵正交相似于对角矩阵。 推论：设 是 维欧氏空间 的对称变换，则在 中存在标准正交基，使得 在该基下的矩阵为对角矩阵。 * 酉空间-谱分解 定义：设 为 阶Hermite矩阵， 为 阶酉矩阵，满足 划分 则有 其中矩阵 线性无关，且 ，称上述公式为Hermite矩阵的谱分解。 * 应用举例 数字信号处理中的正交变换（DCT变换，FFT变换等）。 * * 练习 P26?10、11、12题； P78?11题、14题； P106?1题； P107?6、9、10题 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 线性变换运算的性质 性质1.线性变换的和、数乘、乘积均为线性变换。 性质2.线性变换的和满足交换律和结合律 性质3.线性变换的加法存在零元，即零变换 性质4.负变换满足 性质5.线性变换的数乘与加法满足分配律 性质6.数