基本不等式(教师).docVIP

源于名校，成就所托 高中数学备课组 教师 班级 学生 日期 上课时间 学生情况： 主课题：基本不等式 教学目标： 教学重点： 教学难点： 考点及考试要求： 教学内容 高考要求 1了解算术平均数与几何平均数的意义，掌握两个正数的算术平均数不小于几何平均数的定理及其逆定理 2能运用定理解决一些简单的数学问题和实际问题 3在用均值定理解决实际问题时,要理解题意,设变量时要把要求最大值或最小值的变量定为函数,建立相应的函数关系式,在定义域内,求出函数的最大值或最小值 知识点归纳 1．常用的基本不等式和重要的不等式 （1） 当且仅当 （2） （3），则 （4） 2最值定理:设 （1）如积 （2）如积 即:积定和最小，和定积最大 运用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等 3 均值不等式: 两个正数的均值不等式： 三个正数的均值不等是： n个正数的均值不等式： 4四种均值的关系：两个正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是 不等式这部分知识，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用．因此不等式应用问题体现了一定的综合性、灵活多样性，这对同学们将所学数学各部分知识，起到了很好的促进作用．在解决问题时，要依据题设、题断的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解或证明．(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切的联系，许多问题，最终都可归结为不等式的求解或证明 精解名题 例1 设a0 ，b0 则下列不等式中不成立的是（） A．a+b+≥2 B (a+b)( +)≥4 C ≥a+b D ≥ 解法一：由于是选择题，可用特值法，如取a=4,b=1, 代入各选项中的不等式，易判断≥不成立 解法二：可逐项使用均值不等式判断 A．a+b+≥2+≥2=2，不等式成立 B∵a+b≥20, +≥20,相乘得: (a+b)( +)≥4成立 C ∵a2+b2=(a+b)2－2ab≥(a+b)2－2()2=()2 又≤≥∴≥a+b 成立 D ∵a+b≥2≤, ∴≤=,即≥不成立 故选D 例2 今有一台坏天平,两臂长不等,其余均精确,有人说要用它称物体的重量,只需将物体放在左右托盘各称一次,则两次称量结果的和的一半就是物体的真实重量,这种说法对吗?并说明你的结论 解:不对 设左、右臂长分别是 ,物体放在左、右托盘称得重量分别为真实重量为为G，则由杠杆平衡原理有： ， ①×②得G2=, ∴G= 由于，故 ,由平均值不等式 知说法不对 真实重量是两次称量结果的几何平均值 点评:本小题平均值不等, 杠杆平衡原理知识、数学化能力及分析问题、解决问题的能力，属跨学科（数学、物理）的创新问题 例3设x≥0, y≥0, x2+=1,则的最大值为＿＿ 分析: ∵x2+=1是常数, ∴x2与的积可能有最大值 ∴可把x放到根号里面去考虑,注意到x2与1+y2的积,应处理成2 x2· 解法一: ∵x≥0, y≥0, x2+=1 ∴== ≤== 当且仅当x=,y=(即x2= )时, 取得最大值 解法二: 令(0≤≤) 则=cos= ≤= 当=, 即=时,x=,y=时，取得最大值 例4 若ab0, 求的最小值 分析: 的结构不对称,关键是的分母(a—b)b,而(a—b)+b=a, 故问题突破口已显然! 也可以逐步进行：先对b求最小值，然后在对a求最小值 解法一: =[(a—b)+b]2 + ≥[2]2 +=4(a—b)b+≥16 当且仅当b=(a—b)且(a—b)b=2,即a=2b=2时取等号,故的最小值为16 解法二: = 当且仅当b=(a—b)且, 即a=2b=2时取等号,故的最小值为16 点评:在运用均值不等式求最值时,凑出定值是关键!但在定值的过程中,不一定就能凑出定值来,实际上,分几步凑也是可以的,只要每步取等号的条件相同便可 例5 若x0,y0,x+y=1, 求证:(1+)(1+)≥9 分析: x+y常数,xy可有最大值 证法一: 左边＝(1+)(1+)=1+++=1++ =1+≥1+=9＝右边 (当且仅当x=y=时取“=”号) 证法二： 令x= y=, 0 左边＝(1+)(1+)=(1+)(1+) =1+++·=1+ =1+≥1+8=9＝右边 02 =时，x=y=时取等号 证法三：∵x+y=1 ∴左边＝(1+)(1+)=(1+)(1+)=(2+)(2+) =5+2(+)≥5+4=9＝右边 (当且仅当x=y=时取“=”号) 小结： 1平均值定理是证明不等式的重要依据，其一般形