§2.2 一维离散型随机变量.pptVIP

§2.2　一维离散型随机变量 2.2.1一维离散型随机变量的分布律 若随机变量X的取值之集是有限点集或可 列点集,我们就称X是离散的. 问题 若X是离散的,那样本空间一定也是离散的吗? 定义2.2.1 设随机变量X的一切可能的取 值为 且X取各个值的概率为 则称X是离散型随机变量,称(2.1)式为随机变 量Ｘ的概率函数或概率分布，亦简称为分布 律． X的分布律表示: 表格表示: 服从关系： 示意图： 随机变量Ｘ的分布律有以下性质： 　 　 例 设随机变量Ｘ取值为－1,0,1,2，其相 应的概率为　　　　　　　　 　则 例 设X有分布律 且 例2.2.1 某人投篮,命中率为0.7,规则是:投 中后或投了4次后就停止投篮.设X表示“此人 投篮的次数”,求X的分布律. 解 首先, X的可能取值为1,2,3,4.同时设 以认为诸 互相独立,于是 从而得X的分布律如下 有了X的分布律,就可以计算对应于该随机 试验的任何随机事件的概率.例如,上例中设A 表示 同时,容易计算 例2.2.2 有7张外形相同的卡片,分别编为 1,2,…,7号.今从中任取3张,定义事件A,B,C分 别表示为“3张卡片中最大号码小于4,等于4, 大于4”,再定义一个随机变量X如下: 例 某厂组织两组人员独立研制两种新产 品,成功率为0.4，0.5。若两组都成功，则年 利润为100万元，只有一组成功时为50万元， 若都不成功，则亏损50万元，求年利润的分 布律. 例 设10件产品中有2件次品，现在进行不放回抽样，直到取到正品为止，求 （1）抽取次数X的分布律； （2） 例 甲、乙两人轮流投篮，直至某人投中为止.让甲先投，若甲投中的概率为0.4，乙投中的概率为0.6，求甲、乙投篮次数的概率分布. 思考题 将2个球逐个独立地放入编号为1,2,3,4的4个盒子中去,以X表示至少有一个球的盒子的最小编号,试求X的分布律. 分析 X=1表示第一个盒子里有一个球,它含有的样本点数等于所有的放法减去第一个盒子是空的放法;同例,X=2表示第二个盒子中至少有一个球同时,第一个盒子是空的,它中的样本点数等于两个球放入2,3,4号盒子中减去第一与第二个盒子是空的的放法. 2.2.2 常见的离散型随机变量 1.几何分布 例2.2.3 对某一目标射击，直到击中为止. 设每次独立射击命中率为p(0P1)，求射击 次数X的概率分布. 解 设Ai表示“第i次击中”， 由题意， Ai之间是互相独立的. X的可能取 值为1,2,3,…, 所以X的分布律为 2.超几何分布 定义2.2.2 设N,m,n为正整数,且 又设随机变量X有分布律为 则称X服从超几何分布，记作X~H(n,m,N)， 式中n,m,N叫分布参数. 超几何分布的概率模型是什么？ 一袋中装有N个球，其中m个红球，余下为白球.从袋中任意取出n(n≤N)个小球，设变量X表示“取得的n个球中红球的数量”,则X~H(n,m,N). 3.二项分布 n重独立试验 如果在n重独立试验中，每次试验只有两 个可能结果：事件A或 发生，则称这样的试 验为n重伯努利试验，相应数学模型叫做伯努 利概型.比如,把一枚均匀的硬币抛掷n次. 定理2.2.1 在伯努利试验中，若事件A发 生的概率为 ，则在n次试验 中事件A正好发生k次的概率为 此处 证明: 设Ai表示”在第i次试验中事件A发 生”,则 先假定事件A在指 定的k次试验中发生,为方便计,不妨设在前k次 试验中A发生,后n-k次试验中 发生,则由独立 性知,相应概率为 但类似的这种情况共有 个,且彼此不相容,由 概率的可加性知 容易验证 通常称 为二项概率. 定义2.2.3 设随机变量X可能的取值为 且取这些值的概率为 这里 则称X服从参数为n,p 的二项分布，记为X~B(n,p). 二项分布的概率模型就是n重伯努利概型.只 要P(A)=p,设X表示“事件A发生的次数”,则 X~B(n,p). 特别地，当n=1时，二项分布B(1,p)，称 为0-1分布.这时