§9.3欧氏空间的同构.pdfVIP

§9.3 欧氏空间的同构 §9.3欧氏空间的同构 一、欧氏空间的同构 二、同构的性质 第九章 欧几里得空间 一、欧氏空间的同构 V V′ R V V′ 定义1 与 都是 上欧氏空间。如果存在 到 双射σ, 对 ∀α, β ∈V, ∀k ∈R, σ 满足： （1）σ(α+β) σα( ) =+σ(β), 映射保持线性关系 （2）σ(kα) kσα( ), （3）对 ∀α, β ∈V, 有 (σασβ, ) (α,β), 映射保持内积不变 ′ σ 是欧氏空间 V V 则称双射 与 的同构映射。 V V′ 称欧氏空间 与 同构。 第九章 欧几里得空间 V V′ 定理9.3.1 两个有限维欧氏空间 与 同构的充要条件 是：它们的维数相等。 V V′ 证明：必要性显然。即若欧氏空间 与 同构，则作为 R 上的线性空间， ′ 同构，故 与 的维数相等。′ V 与 V V V V V′ dim V dim V′ n, 充分性。若 与 的维数相等，设 n 0, V V′ 若 因为零空间的内积均为零，所以 与 同构； n 0, V V′ 若 分别取 与 的标准正交基为： α ,α , ,α 与 η ,η , ,η 。 1 2 n 1 2 n 对 ∀α∈V，α k α +k α ++k α 1 1 2 2 n n σ V V′ 定义 到 的映射 如下： ′ ∀α∈V, σ(α) k η +k η ++k η ∈V , 1 1 2 2 n n ′ σ V V 的一个同构映射。 下证 是线性空间 到 1)先证 σ 是单射。 第九章 欧几里得空间 对 ∀α, β ∈V, 设 α k α +k α ++k α ,