检验能够发现任何线性的异方差性.pptVIP

Economics 20 - Prof. Anderson 异方差之定义 同方差性假定意味着Var(u|X)=常数。 然而，若u的方差因X而异，则出现异方差。 例子：估计教育的回报，能力因素不可观测进入u之中，然而能力因教育水平而已。 异方差的后果 即使不满足同方差性，OLS估计仍然是无偏和一致的。 如出现异方差，参数估计值的标准误是有偏的。 标准误有偏，通常的t统计量和F统计量或者LM统计量在统计推断时失效。 出现异方差时的方差 出现异方差时的方差 稳健标准误 如果我们获得方差的一致估计值，则可用之作为标准误进行统计推断。 通常，我们称之为稳健标准误。 有时候，估计的方差乘以n/(n – k – 1)进行自由度修正。当 n → ∞，自由度修正无关紧要。 稳健标准误（续） 稳健标准误只有渐进的正确性：在小样本情况下，以稳健性标准误计算的t统计量并不服从t分布，据此作统计推断并不正确。 换言之，稳健标准误和稳健t统计量只有在样本量很大时才是确当的。 例子8.1 异方差-稳健标准误的工资对数方程 一般的LM统计量 稳健LM统计量 对受约束模型进行OLS回归并保存残差项?. 依次将排除的自变量对所有其他未排除的自变量进行回归（q个回归方程），保存每次回归的残差项?1, ?2, …, ?q. 将1对?1 ?, ?2 ?, …, ?q ?进行零截距回归。 LM统计量是n – SSR1,其中SSR1是最后一个回归所得到的残差平方和。 异方差检验 实质上是检验test H0: Var(u|x1, x2,…, xk) = s2, 或H0: E(u2|x1, x2,…, xk) = E(u2) = s2 假设u2 与 xj 的关系是线性的，则可检验一个线性约束。 如对模型 u2 = d0 + d1x1 +…+ dk xk + v,则检验H0: d1 = d2 = … = dk = 0 Breusch-Pagan检验 误差项不可观测，但可以从OLS回归中估计之。 将残差平方对所有自变量进行回归后，获得R2 形成F或LM检验。 F统计量恰好是报告的模型总体显著性的F统计量，服从Fk, n – k – 1分布。 F = [R2/k]/[(1 – R2)/(n – k – 1)] LM统计量为LM = nR2, 服从c2k分布 异方差性的BP检验 例8.4 住房价格方程中的异方差性 怀特检验 BP检验能够发现任何线性的异方差性。 怀特检验允许对x的平方项和交互项进行非线性检验。 仍然使用F 或 LM 检验是否所有的 xj, xj2 及 xjxh 联合显著。 这样会耗费很多自由度，怀特检验可以使用另外的技巧。 怀特检验的备选形式 OLS的拟合值?是所有x的函数。 因此，?2 是x的平方项和交互项的函数，? 和 ?2 可作为xj, xj2及 xjxh代理变量。 将残差平方和对? 和 ?2 进行回归，并使用R2 计算F 或LM 统计量。 注意只是检验2两个约束。 加权最小二乘法（WLS） 总是有办法估计OLS估计量的稳健标准误。如果我们知道异方差的特定形式,我们可以获得比OLS更有效的估计量。 基本的想法是，将其转换成拥有同方差标准误的模型，即加权最小二乘法。 已知异方差形式的例子 假设异方差表现为Var(u|x) = s2h(x),关键是找出函数h(x) . 因为hi 是x 的一个函数， Var(ui/√hi|x) = s2 ，所以E(ui/√hi|x) = 0。 因此，如果将方程两边除以√hi ,我们将获得同方差之模型。 例子：储蓄方程的异方差 更一般的例子 广义最小二乘法（GLS） 用OLS估计转换后的方程是广义最小二乘法(GLS)的一个例子。 GLS是最优线性无偏估计。 GLS 是加权最小二乘估计，其中残差平方以Var(ui|xi)的倒数为权数。 加权最小二乘法 直觉地考察为何将OLS应用于转换过的方程是合适的，尽管这一转换较为琐碎。 加权最小二乘估计可以得到同样的结果，即使没有经过方程转换。 基本的想法是使误差平方和最小。 (以1/hi权重） 要将估计值放到原方程中解释。 加权最小二乘估计：评论 如果我们了解Var(ui|xi) 的形式，WLS是一个不错的选择。 在很多情况下，我们并不知道异方差的形式。 一个例子是，回归时数据时加总的，但模型则是针对个人的。 希望以个体数为权数对每个加总的观测进行加权。 可行GLS（FGLS） 更常见的情况是我们不知道异方差的形式。 在这种情况下，需要估计h(xi)。 通常来说，我们假设异方差的形式较具有弹性，如 Var(u|x) = s2exp(d0 + d1x1 + …+ dkxk) 既然我们不知道d, 则必须估计之。 FG