试验案例狼追击兔子的问题.PDFVIP

实验案例 狼追击兔子的问题 1.1 狼追击兔子问题的建模 1.1.1 问题重述与分析 狼追击兔子问题是欧洲文艺复兴时代的著名人物达.芬奇提出的一个数学问 题。当一个兔子正在它的洞穴南面60 码处觅食时，一只恶狼出现在兔子正东的 100 码处。当两只动物同时发现对方以后，兔子奔向自己的洞穴，狼以快于兔子 一倍的速度紧追兔子不放。狼在追赶过程中所形成的轨迹就是追击曲线。狼是 否会在兔子跑回洞穴之前追赶上兔子？ 为了研究狼是否能够追上兔子，可以先考虑求出狼追兔子形成的追击曲线， 然后根据曲线来确定狼是否能够追上兔子。 1.1.2 变量说明 v1 ：兔子的速度（单位：码/秒） r ：狼与兔子速度的倍数； v rv v ：狼的速度（单位：码/秒），显然有 2 2 1 t ：狼追击兔子的时刻（t=0 时，表示狼开始追兔子的时刻） s1 ：在时刻t，兔子跑过的路程（单位：码）s 1s，t 1 ( ) s2 ：在时刻t，狼跑过的路程（单位：码）s 2s，t 2 ( ) ( , x )y Q ：表示在时刻t 时，兔子的坐标 1 1 P ：表示在时刻t 时，狼子的坐标 ( , x )y 1.1.3 模型假设 1、狼在追击过程中始终朝向兔子； 2 、狼追击兔子的轨迹看作是一条光滑的曲线，即将动点( ,Px )y 的轨迹看作一条 曲线，曲线方程表示为y y x ( ) 。 1.1.4 模型建立 （一）建模准备 1 以t ＝0 时，兔子的位置作为直角坐标原点，兔子朝向狼的方向为x 轴正向； 则显然有兔子位置的横坐标x1 0 。 对狼来说，当x ＝100，y ＝0，即y x 100 0 在t ＝0 刚开始追击时，狼的奔跑方向朝向兔子，此时即x 轴负方向， 则有 y ′x 100 0 （二）建立模型 1、追击方向的讨论 由于狼始终朝向兔子，则在狼所在位置( ,Px )y 点过狼的轨迹处的切线方向在 y 轴上的截距为 。 y 1 设切线上的动点坐标为（X ，Y），则切线方程为 Y y y X x −( ′) − （1） 在（1）中，令X ＝0，则截距Y y y x − 。′ y此时v t 。 1 1 则此时截距等于兔子所跑过的路程，即： Y y 1 ， 从而可得 Y y y y x − 1 ′ （2 ） 2、狼与兔子速度关系的建模 在t 时刻，兔子跑过的路程为 s 1 y 1 v t 1