解析函数的罗朗级数展式与孤立奇点.PDFVIP

第5章：解析函数的罗朗级数展式与孤立奇点 §1 解析函数的罗朗级数展式 一、教学目标或要求： 掌握解析函数的罗朗展式 二、教学内容 （包括基本内容、重点、难点）： 基本内容：解析函数的罗朗展式 解析函数的罗朗展式与泰勒级数的关系 例题 重点：解析函数的罗朗展式 难点：例题 三、教学手段与方法： 讲授、练习 四、思考题、讨论题、作业与练习：1－2 §1 解析函数的罗朗级数展式 1. 双边幂级数 称级数  c c c (z a)n  n  1 c c (z a) c (z a)n  （5.3） n n 0 1 n n  (z a) z a 为双边幂级数，其中a 与c (n 0 , 1, 2 , ) 为复常数，称c (n 0 , 1, 2 , ) n n 为双边幂级数 （5.3）的系数． 当 与 都收敛时，称双边幂级数 收敛。类似 地,可定义双边幂级数的绝对收敛、一致收敛、内闭一致收敛。.收敛区域 (正则部分或解析部分)在收敛圆 内表示一个解析函数 ； 对 （主要部分），令 ，则上 述级数化为 ，设它的收敛区域为 , 换回到原来的变量 , 即知原级数 在 内收 敛，表示一个解析函数 (也是绝对收敛且内闭一致收敛的)；因此，双边幂 级数 在圆环 内表示一个解析函数。特别地，当主要部 分恒为零时,双边幂级数即为幂级数,在某个收敛圆内表示一个解析函数。 定理5.1 设双边幂级数 的收敛圆环为 , 则 （1） 在 内绝对收敛且内闭一致收敛于 ； （2） 在 内解析； （3） 在 内可逐项求导 次 。 2.解析函数的罗朗展式 定理 5.2 若级数 （5.3）的收敛圆环为G :r  z a R (0 r R ) ，则级 数 （5.3 ）在 G 内绝对 收敛 ，且在 G 内每个较 小 的 同心 闭圆环      G :r  z a R (r r R R) 上一致收敛，其和函数在G 内为解析函数． 定理6.2 若函数f (z ) 在圆环G :r  z a R (0 r R ) 内解析，则f (z ) 在 G 内可展成双边幂级数为  cn (z a)n （5.4） n  其中 1 f () cn 2 πi ( a)n1 d , n 0 , 1, 2 ,  （5.5） c 这里的c 为圆周 a  (r  R) ，并且系数cn 被f (z ) 及圆环G 唯一