高水平考试座：利用递推关系求数列通项公式种重要类型和方法.docxVIP

课题利用递推关系求数列通项公式的方法教学目标1.掌握等差数列、等比数列的定义、通项公式、前n项和公式；2.掌握数列通项公式的求法重点难点利用递推关系求数列通项公式的方法授课内容：一、课前检测1.在数列{an}中,已知前n项的和Sn= 4n2-n,那么a100等于( ).A.810 B.805 C.800 D.795〖解〗D2等差数列中,,则的值为( )A．130 B．260 C．156D．168 〖解〗 A3.已知等差数列{}中,则的值为( )A. 15 B.33 C.55 D. 99 〖解〗 C 4.若等比数列满足,则公比为( )A.2 B.4 C.8 D.16〖解〗 B5.已知各项不为0的等差数列满足,数列是等比数列,且,则等于( )(A)16 (B)8 (C)4 (D)2 〖解〗 A 6.已知等差数列,等比数列,则该等差数列的公差为( )A.3或B.3或C.3 D.〖解〗 C 二、考点知识等差数列与等比数列的有关知识比较一览表等差数列等比数列定义一般地,如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫公差．一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫等比数列．这个常数叫公比．递推关系①（）②（）③（）①（）②（）③（）通项公式①（）②（）①（）②（）求和公式①（）② ()③()① ()③ (，)主要性质①若p+q=s+r, p、q、s、rN*,则.②..③若、分别为两等差数列，则为等差数列.①若p+q=s+r, p、q、s、rN*,则.②.③若、为两等比数列，则为等比数列.三、精讲巧练利用递推关系求数列通项的几种常见类型及解法1.形如型（1）若f(n)为常数,即：,此时数列为等差数列，则=.（2）若f(n)为n的函数时，用累加法. （★★★★★.重点掌握）方法如下： 由 得：时，，=即：.例 1. 已知数列｛an｝满足,证明证明：由已知得： =.变式练习.1.已知数列的首项为1，且写出数列的通项公式. 答案：2.已知数列满足，，求此数列的通项公式. 答案：小结：已知,，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项.①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;②若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和;③若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。2.形如型（1）当f(n)为常数，即：（其中q是不为0的常数），此时数列为等比数列，=.（2）当f(n)为n的函数时,用累乘法.由得时，，=f(n)f(n-1).例2．数列中, 求此数列的通项公式.解: 把这n-1个式子两边分别相乘可得即故的通项公式为.令n=1,2,3,4,5得a1=1,变式练习练习1.设是首项为1的正项数列，且（=1，2，3，…），则它的通项公式是=________.解：已知等式可化为：()(n+1), 即时，==.练习2.已知,求数列{an}的通项公式.解：因为所以故又因为,即，所以由上式可知,所以,故由累乘法得 =所以-1.评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式转化为若令,则问题进一步转化为形式，进而应用累乘法求出数列的通项公式.3．形如,其中)型（1）若A=1时，数列{}为等差数列;（2）若B=0时，数列{}为等比数列;（3）若时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.方法如下：设,（★★★★★.重点掌握）得,与题设比较系数得,所以所以有：因此数列构成以为首项，以A为公比的等比数列，所以 即：.规律：将递推关系化为,构造成公比为A的等比数列从而求得通项公式例3．已知数列中，求通项.分析：两边直接加上,构造新的等比数列。解：由得,所以数列构成以为首项，以为公比的等比数列所以,即 . 4.形如型.(1)若(其中k,b是常数，且)方法指导：相减法,通过构造数列转化为类型3与1 (2)若(其中q是常数，且n0,1) （★★★★★.重点掌握）①若p=1时，即：，利用累加法②若时，即：，方法指导：有三种思路：i. 两边同除以.即： ,令，则,然后如类型①，累加求通项.