计算机图形学 第9章 非规则图形.ppt

* 第9章 非规则图形的生成 9.1 分形理论及其应用 9.1.1 分形概念 从几何学上看，分形是实空间或复空间上一些复杂的点的集合，它们构成一个紧子集，并具有下面经典的几何性质： (1) 分形集都具有任意小尺度下的比例细节，即具有无限精细结构； (2) 分形集无法用传统几何语言来描述，它不是某些简单方程的解集，也不是满足某些条件的点的轨迹； (3) 分形集具有某种自相似形式，包括近似和统计上的自相似； (4) 分形集一般可以用简单的方法定义和产生，如迭代； (5) 按某种维数定义，分形集的分形维数大于相应的拓扑维数。 9.1.2 分形定义及分类 分形集是一类不能用经典几何方法描述的“不规则”集合，它们基本满足分形的经典性质，但是在自相似的程度上可以有很大差别。分形几何就是研究所谓“简单”空间上这样一类“复杂”子集的数学分支。 2．自相似维数度量 3．Hausdoff维数度量 4．盒维数度量 1．拓扑维与度量维 9.1.3 分形维数 9.1.4 函数递归分形图形 使用函数递归可生成具有严格的自相似性质的分形图形。 1．Koch曲线 如图9-2所示，从当前点A(100, 100)开始，角度为0，直线长度为300个像素点。Koch曲线的递归过程是：每次对每条边，将线段三等分，计算第一个三分之一段后旋转60°，接着计算第二个三分之一长度，再旋转-120°，计算第三个三分之一长度，再旋转60°，计算最后三分之一线段长度。设递归的次数为N，当递归结束后，再绘制最后一次计算出的线段。 图9-2 不同次数的Koch曲线 2．树枝曲线 如图9-3所示是一个树技曲线生长图，其递归过程是：每次绘制每条边后，按该线段的长度的一定比例(如3/4)，对其末端生成两条线段，第一个线段旋转正角度(如20°)，并绘制，第二个线段旋转负角度(如-20°)，并绘制。设递归的次数为N。该树枝生成过程与Koch曲线不同处是每次递归的结果线段都要绘制出来， 图9-3 树枝递归生成图 3．生成元分形图形 由上两种递归函数生成图形程序可以看出，它们有很大一部分是由生成元，或说发生器自由地绘制出来，递归过程的重点是长度与角度的变化，不同的长度或不同的角度可生成不同的分形图形。 可以用一个二维数组gene表示生成元，其中数组的第一个元素表示旋转角度，第二个元素指定线段长度的比率，如：gene[][2]={{0.0, 1.0},{85.0, 1.0}, {-170.0, 1.0},{-85.0, 2.0} }，指定的生成元如图9-4(a)所示。 不同生成元、不同递归次数生成的不同分形图 9.1.5 L系统 L系统是林德梅叶1968年为模拟生物形态而设计的，后来史密斯于1984年、普鲁辛凯维奇于1986年，分别将它应用于计算机图形学。L系统实际上是字符串重写系统，首先定义字符集合, 设置初始字符串和字符串替代规则，然后根据规则对原始字符串不断进行替代。每一步迭代过程中字符的替换都是并行的, 即所有字符同时进行替代操作。最后通过将字符串解释成图形，可以生成许多经典的分形，特别是能很好地表达植物的分枝结构。 L系统的符号串也称“龟图”(Turtle)，龟图的状态用三元组(X, Y, D)表示，其中X和Y分别代表横坐标和纵坐标，D代表当前的朝向。令? 是角度增量，h是步长。符号串的图形学的一种可能的解释见表9.1。 表9.1 L系统的部分符号规定与解释 也是合法的，主要用于获得复杂的解释 其他 将线段长度乘以nnn，nnn也可以是简单函数 @nnn 倒转方向(控制+、-、/) ! 减少角度nn度 /nn 增加角度nn度 \nn Pop，将图形状态重置为栈顶的状态，并去掉该栈中的内容 ］ Push，将龟图当前状态压进栈(stack) ［ 原地转向180° ｜ 从当前方向向右转一个给定的角度 - 从当前方向向左转一个给定的角度 + 从当前位置向前走一步，但不画线 G 从当前位置向前走一步，同时画线 F 图 形 解 释 符 号 例如：给出初始字符串为F--F--F，设角度增量为60°，其对应图形如图9-6(a)所示。 第一个“F”表示向前走一个单位线段(规定从左向右)，得到的是AB线段。然后是两个“-”，表示从当前方向开始算起向右转两个60°。第二个“F”表示沿当前方向再走一个单位长度，得到BC线段。接下去又右转两个60°，再画一个单位线段，得到CA线段。于是得到一个三角形ABC。 图9-6 L系统图形初始状态 给出代换规则为F = F + F--F + F，其对应图形如图9-6(b)所示。 将“F--F--F”中的每个“F”用“F + F--F + F”代换，第一次代入得到： F + F--F + F--F + F--F + F--F + F--F + F。