数值分析第七章7.2.ppt

* 例:用如下两点Gauss－Chebyshev求积公式 解: * （三）Gauss－Laguerre求积公式 截断误差为 求积系数为 * * （四）Gauss－Hermite求积公式 截断误差为 求积系数为 * 高斯型求积公式精度高，能计算广义积分， 但需要通过查表得到节点与求积系数， 而且当节点数增加时，原来的计算结果 不能继续使用。 高斯型求积公式需要掌握： * 解：记 * * ∴　此求积公式有5次代数精确度 是Gauss型求积公式。 * 查表 * Matlab函数 quad: 自适应步长Simpson积分法 用法: quad(Fun, a, b, tol), 其中Fun为被积函数, a, b 为积分下上限, tol为误差精度. quadl: 高精度Lobatto积分法 用法: 同quad(Fun, a, b, tol). f=inline(exp(-x.^2)); quad(f,0,1,1e-6) ans = 0.74682418072642 f=inline(exp(-x.^2)); quadl(f,0,1,1e-6) ans = 0.74682413398845 * §4　Romberg求积公式 * * * * * 梯形值序列 Simpson序列 Cotes序列 Romberg序列 Romberg方法计算过程 * =0.9207355 =0.9397933 * * 2 4 1 8 0.9207355 0.9397933 0.9445135 0.9456909 0.9461459 0.9560869 0.9460833 0.9460830 0.9460831 0.9460831 利用只有一两位有效数字的T1, … ,T8 经过三次外推得到7位有效数字. 可见加速的效果十分显著. 用Romberg算法计算如下 准确值 I=0.9460831… * Romberg算法的理论依据 * Romberg算法的理论依据 有如下Euler－Maclaurin公式 * Romberg算法的理论依据 * Romberg算法的理论依据 * §5　Gauss型求积公式 5.1 一般理论 * （一） Gauss型求积公式 * * 区间[-1,1]上两点高斯求积公式 * 梯形公式与Gauss求积公式的比较 * 区间[-1，1]上三点高斯求积公式 * （二）Gauss点与正交多项式的关系 * * 结论1： * 结论3：求积系数也可用下面计算公式　 * （三）Gauss型求积公式的误差 * * 5.2　几种常用的Gauss型求积公式 (一)　Gauss－Legendre求积公式 高斯点为Gauss－Legendre多项式的零点 * 两点高斯-勒让德求积公式为： * 三点高斯-勒让德求积公式为： n更大时Gauss-Legendre求积公式的节点与系数可通过查表得到 * * 解：作变换 * （二）Gauss－Chebyshev求积公式 求积系数为： Gauss－Chebyshev求积公式为　 其余项为