矩阵分析 课件 第四章 矩阵分解.pptVIP

第8节 Hermite变矩阵、 Hermite二次齐式 对称矩阵，二次型 第9节 正定Hermite二次齐式、正定Hermite矩阵 第四章 矩阵分解 矩阵分解 矩阵的满秩分解 正交三角分解 奇异值分解 极分解 谱分解 4.1 矩阵的满秩分解 4.3 矩阵的奇异值分解 * * 定理8.1： 若A是n阶复矩阵，则， （1）A是Hermite矩阵的充要条件是对任意 ， 是实数。 （2）A是Hermite矩阵的充要条件是对任意 ， 是Hermite矩阵。 定理8.3： 若A是n阶复矩阵，则A是n阶Hermite矩阵的充要条件是存在酉矩阵U，使得， 定理8.2： 若A是n阶实矩阵，则A是n阶实对称矩阵的充要条件是存在正交矩阵Q，使得， Hermite二次齐式，实二次齐式（二次型） Hermite二次齐式的标准型：定理8.5, 8.6 对角矩阵 Hermite二次齐式，实二次齐式（二次型） 正定的 矩阵A正定的 正定的 矩阵A半正定的 负定的 矩阵A负定的 负半定的 矩阵A负半定的 非奇异线性变换不改变二次齐式的正定性，也就是相似矩阵具有相同的正定性 与正定的实二次形一样, 关于正定的Hermite二次形我们有 定理9.1: 对于给定的Hermite二次形 下列叙述是等价的 (1) 是正定的. (2) 对于任何 n 阶可逆矩阵 P 都有 为正定矩阵. (3) A 的 n个特征值都大于零. (4) 存在 n 阶可逆矩阵 P 使得 (5) 存在 n 阶可逆矩阵 Q 使得 (6) 存在正线上三角矩阵 R 使得 , 且此分解是唯一的. 定理9.3: 对于给定的Hermite二次形 下列叙述是等价的: (1) 是半正定的 (2) 对于任何 n阶可逆矩阵 都有 为半正定矩阵 (3) A的 n个特征值全是非负的 存在 n 阶可逆矩阵 使得 (5) 存在秩为r 的 n 阶矩阵Q 使得 定理1.1：设 ， 则存在 ，使得 证明： （1）因为A的秩是r，所以有r个线性无关的列，可以设 A 的前r列向量是线性无关的。 行初等变换 定理1.1：设 ， 则存在 ，使得 证明： （2) 若 A 的前r列向量是线性相关的，那么可以做相应的列初等变换使其前r个列向量线性无关。 例题1.1, 1.2 矩阵的满秩分解是不唯一的，但是它们之间满足： 定理1.2：若 均为A的满秩分解，那么 4.2 矩阵的正交分解（UR、QR分解） 定理2.1：设 ， 则 A 可以唯一的分解为 主对角线元素为正的 证明： 正交化 单位化 单位化 酉矩阵 正线上矩阵 单位矩阵 定理2.2：设 ， 则 A 可以唯一的分解为 推论2.2：设 ， 则 A 可以唯一的分解为 推论2.3：设 ， 则 A 可以分解为 例题2.1