矩阵的概念与计算.pptVIP

(2) 矩阵乘法不满足消去律. 即矩阵运算不象数的运算那样,可以约去“非零”项或交换乘积 . a) 由AB=O 推不出 A=O 或 B=O ; b) A(X ? Y)=O , A? O 推不出 X=Y . (3) 矩阵没有除法. （四）、方阵的幂 1、定义 设 A 为 n 阶方阵，k 是正整数，则 k 个矩 阵 A 的连乘积称为 A 的 k 次幂，记作 特别地，对于方阵 A ，若 则称A 为幂等阵. 例如 方阵 行数与列数都等于 的矩阵 ，称为 阶 方阵.也可记作 2、方阵的幂的性质 注意：由于矩阵的乘法不满足交换律，因而初等代数中的许多乘幂公式对于方阵一般不能成立. 如 解 例10 由此归纳出 用数学归纳法证明 当 时，显然成立. 假设 时成立，则 时， 所以对于任意的 都有 把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的 新矩阵，叫做 A 的转置矩阵，记作 . 例 1)、定义 (五)、矩阵的转置 2)、转置矩阵的运算性质 例11 已知 解法1 解法2 例12 把如下线性方程组改写成矩阵形式 解： 非齐次线性方程组 ——系数矩阵 非齐次线性方程组可记为： 定义 写成矩阵形式为 Y=AX ，其中 例13 已知两个线性变换 求从 到 的线性变换. 例如 是一个3 阶方阵. 行数与列数都等于 的矩阵 ，称为 阶 方阵.也可记作 三、几种特殊矩阵 ——主对角线 (2)只有一行的矩阵 称为行矩阵(或行向量). 只有一列的矩阵 称为列矩阵(或列向量). 称为对角 矩阵(或对角阵）. （3） 形如 的方阵, 不全为0 记作 性质 1) 若A，B 为同型对角矩阵，k 为常数，则 kA, A+B, A-B, AB 仍为同型对角矩阵. 2) 若A 为对角矩阵，且 A=AT . (4)方阵 称为数量矩阵. 全为同一个数 性质 1）具有对角矩阵的一切性质 2） (5)方阵 全为1 称为单位矩阵（或单位阵）. 性质 (6)方阵 称为上三角形矩阵（或上三角阵） 方阵 称为下三角矩阵（或下三角阵） 上三角与下三角阵统称为三角形矩阵（三角阵） 性质 1) 若A，B 为同型同结构三角阵，k 为常数，则 kA, A+B, A-B, AB 也为同型同结构三角阵. （7）元素全为零的矩阵称为零矩阵， 零 矩阵记作 或 . 注意 不同阶数的零矩阵是不相等的. 例如 （8）对称矩阵与反对称矩阵 也即有 时，则称 A 为对称矩阵. 1、如果 n 阶方阵 的元素满足条件 对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相 等. 说明 性质 1) 若A，B 为n 阶对称矩阵，k 为常数，则 kA, A+B, A-B, ATA, AAT 也为对称矩阵. 但 AB 未必是. 例14 设 A 与 B 是两个同阶的对称矩阵，证明： 当且 仅当 A 与 B 可交换时，AB 是对称矩阵. 则称 A 为 n 阶反对称矩阵. 2、如果 n 阶方阵 的元素满足条件 由定义，反对称矩阵的主对角线上的元素 也应 该满足 所以 反对称阵的主对角线元素全为零，且以其为对称轴对应相反. 说明 例15 证明任一 阶矩阵 都可表示成对称阵 与反对称阵之和. 证明 所以C为对称矩阵. 所以B为反对称矩阵. 命题得证. 设 为 m 次多 项式，A 为 n 阶方阵，则 定义 仍为一个 n 阶方阵，称 f (A) 为方阵 A 的多项式. 例16 设 未完 * 第一章 矩阵 §1 矩阵及其计算 §2 几种特殊矩阵 一、矩阵的概念 1、引入 引例1 假设我们记录4名学生甲、乙、丙、丁的3门课程 （数学、语文、英语）的期末考试成绩. 若按满分100分 评定，期末考试成绩由下表所示. 学生 成绩 课程 数学 语文 英语 甲乙丙丁 90