有理数的运算是初中代数的最基本运算，学好有理数的运算对今后学习实数.docVIP

七年级第三周学法指导 南师附中新城初级中学 李寒月 有理数运算是初中数与代数领域里最基本、最重要的内容之一，学好有理数的运算对今后学习实数运算有着十分重要的意义。在学习有理数运算时，我们不能仅停留在理解算理的基础上的正确、熟练运算层面，还应深入挖掘有理数运算中所隐含的数学思想方法。 数学思想方法是处理数学问题的指导思想和基本策略，是数学的灵魂。理解和掌握以数学知识为载体的数学思想方法，将有利于提高我们的数学思维水平，使我们真正懂得数学的价值，建立科学的数学概念，进而提高运用数学解决实际问题的能力。 在有理数运算这部分内容里主要隐含了以下数学思想方法——分类思想、类比思想、化归思想、数形结合思想。 一、分类思想 生活中，当我们面对一堆杂乱无章的事物时，为了理清头绪、找到线索，经常需要对其分门别类，这其实就是分类思想的应用。所谓分类就是根据问题的特点和要求，按照一定的标准，把所要研究和解决的问题分为几种情况或部分，再逐一进行研究和解决的思想方法。在数学学习中经常需要应用分类的思想方法。 例如学习有理数时，课本在小学学习了自然数、整数、分数、小数、偶数、奇数等大量数字的基础上，又引入了负数，面对纷繁复杂的数字，我们只有对其进行分类才能弄清它们之间的区别和联系。于是我们对有理数进行了系统的分类，即按整数和分数的二元分类与按符号划分的正有理数、负有理数和0的三元分类。有了这样一个分类，小学里所学的数就可以根据其性质归入相应的数集中，如此我们对数便有了更深层次的认识。 在有理数的四则运算中也同样隐含了分类的思想。我们在探索有理数加法法则和乘法法则时，首先依据有理数的三元分类，结合小学学习的加法和乘法运算，将有理数范围内的加、乘法运算划分为：正数和正数相加（相乘）、负数和负数相加（相乘）、正数和负数相加（相乘）、正数和0相加（相乘）、负数和0相加（相乘）五种类型。我们知道，在有理数范围内，数字具有了符号的性质，于是按照符号的不同，我们可以将上面五种类型进一步归结为：同号相加（相乘）、异号相加（相乘）和含有0的加法（乘法）三种情况，然后针对三种不同情况分别探索其运算特点和规律。其中，正数与正数相加（相乘）、正数和0相加（相乘）在小学里都已学过，所以重点探究负数和负数相加（相乘）、正数和负数相加（相乘）、负数和0相加（相乘）三种类型。这样，在分类的基础上，我们最终探索、归纳出有理数的加法法则和乘法法则。 分类的思想方法不仅在数学学习中会经常用到，在其他学科中乃至现实生活中都会经常被人们所使用。在进行分类时要注意其两个基本原则：一是分类的标准要统一；二是分类时要不重不漏。 例1：已知，，求的值. 【分析】由可知，或；由可得，或.因此，与共有4种组合，即：（1），，得；（2），，得；（3），，得；（4），，得. 二、类比思想 类比就是对两个（多个）相似或相近的事物进行对比，通过对比探索、发现事物规律和特点的思想方法。在数学中，我们经常会利用类比思想来学习一个新知识或解决一个看似陌生的问题。 利用类比的思想方法我们可以更好的学习和掌握有理数运算。我们在小学里就学习了加、减、乘、除四则运算，进入初中以后我们又学习有理数四则运算，同样是加、减、乘、除，有理数的四则运算与小学学习的四则运算有区别和联系呢？仔细思考，我们会发现二者的最大不同在于参与运算的数字发生了变化，小学里参与四则运算的数字都是0和正数，而进入中学引入负数以后，参与四则运算的数字不仅有以前所学的0和正数还有负数，数字有了符号的性质，即有了正负之别。而这直接导致我们在进行有理数范围内的四则运算首先要确定和、差、积、商的符号问题，这是我们在小学进行四则运算时所没有涉及的。确定了和、差、积、商的符号后，再确定和、差、积、商的绝对值，这是通过参与运算的各数的绝对值的加、减、乘、除运算得到的。而去掉了符号的数字运算，正是我们在小学时所学的算术运算。通过这样一类比过程，我们能够更深刻的理解有理数的运算，找到有理数运算与小学算术数运算的异同，进而避免出现错误的运算。 另外，我们在小学里还学习了加法运算律和乘法运算律，当数系扩充到有理数范围时，小学非负数范围内的运算律是否可以推广到有理数范围内呢？通过反复验证，我们发现在有理数范围内加法和乘法的运算律仍然适用。这一过程本质上就是类比归纳的思想方法。 三、化归思想 化归其实就是转化，生活中我们经常将复杂问题转化为简易问题，将陌生的、不熟悉的问题转化为我们所熟悉的问题来解决。数学中很多知识里都隐含了化归的思想。有理数的加法与减法运算、乘法与除法运算就是化归思想的重要体现。在学习有理数四则运算时，我们首先学习了有理数的加法，通过分类探究，归纳出有理数的加法法则。但是对于有理数的减法运算我们并不熟悉，然而我们在小学里就已经知