数字信号处理 随机信号的功率谱密度.pptVIP

9.5 随机信号的功率谱密度 随机信号x(t)一般说来并不一定满足绝对可积条件，可能是所谓能量无限信号，因此其傅立叶变换并不一定存在。但可以去研究它在 区间的平均功率，这个平均功率的傅立叶变换，即所谓功率谱密度却是存在的。 9.5.1 功率谱密度的定义 设x(t)是一各态遍历性的平稳过程，由它构成一截尾的函数xT(t)如下式所示： 显然，xT(t)是绝对可积的，即满足： 其傅立叶变换为： 由帕斯瓦尔公式可知（参见第3章习题） 上式等号两边除以2T得： 上式的左边表示信号x(t)在 区间内的平均功率，而等右边的被积函数则称为信号x(t)的功率谱密度，或简称功率谱。记为： 有确定的物理意义，它表示了随机信号的平均功率关于频率的分布。 如果随机过程不具有各态遍历性，则（9-85）式两边的积分都是随机变量，其平均功率需用总集平均才能求得，即 其功率的谱定义式为： 9.5.2 功率谱的性质 功率谱Sx有下述重要性质。 ,即功率谱是频率的非负函数，这可从定义式（9－86）和（9－87)直接看出。 对于实的平稳过程x(t)，其功率谱为偶函数。这是因为 与 是一对傅立叶变换，即： 式(9-88)与（9－89）就是所谓的“维纳－钦辛”定理的数学表达式 “维纳－钦辛”定理证明从略。但要注意，此定理存在的条件是随机信号必须是平稳的随机过程。 （4） 即 时的自相关函数等于其功率谱密度在 区间的积分。而Rx(0) 等于信号的均方，也就等于信号的平均功率。 例9－3 求随机相位正玄波的功率谱密度。 解：由前节已知 。因其是平稳信号，故 可按（9－88）式求其功率谱： 可见其功率谱是强度为 的两个 函数。 例9－4 理想的白噪声是一均值为零的平稳的随机信号，功率谱密度为非零常数，即： 求其自相关函数。 解：用（9－89）式得： 可见白噪声在 时，其自相关函数为无穷大；而在 时， ，即表明x(t)在 时x(t1)与x(t2)是不相关得。 实际上是不可能得到这种理想得白噪声的。 作为相关函数和功率谱有关特性的应用，这里介绍利用相关 函数的特性从背景噪声中提取周期信号的例子。 由前述可知，一个周期信号，其相关函数也是周期 的。如果噪声信号为白噪声，则其自相关函数是非周期的， 白噪声的相关函数为： 即 时，其相关函 数为零。 如果信号是由周期信号和白噪声n(t)所构成，即： 且r(t)与n(t)相互统计独立，则： 当 时，则： 因此可以通过 的测算确定周期信号r(t)的存在。 如果不是白噪声，而是功率谱为有限带宽的有色噪声，其自 相关函数如图9。13（b)所示，表达式为： 对 作傅氏变换，得噪声的功率谱为： 如图9.13（a）所示，若信号 是随机 相位正玄波，则 若r(t)与n(t)互相统计独立，则： 故x(t)的自相关函数如图9.14所示。显然，当 足够大时， 信号x(t)的自相关函数仅取决于r(t)的自相关函数。因此可以 利用这一特征判断周期信号r(t)是否存在。 9.5.3 互谱密度 以上所述的功率谱是对一个随机过程而言的。对于两个随机过程x(t)与y(t),若它们是平稳相关的，其互谱密度定义为： 互谱密度只是一种数学上的处理，不像功率谱密度有明确的 物理含义它主要是从频域来描述两个平稳过程的相关性，与 互相关函数 构成傅立叶变换对，即： *