第2章插值(8115KB).pptVIP

由此可以提出一种新的法则为：当速率介于为 英里/小时之间时遵循“2秒法则”， 当速率介于为 英里/小时之间时遵循“3秒法则”， 当速率介于为 英里/小时之间时遵循“4秒法则”。 历史与注记 1756年，拉格朗日被任命为普鲁士科学院通讯院士。1766年任普鲁士科学院数学部主任。1786年出任法国米制委员会主任。1795年拉格朗日被选为法兰西研究院科学院数理委员会主席。1813年4月3日，拿破仑授予他帝国大十字勋章。 拉格朗日在数学上最突出的贡献是使数学分析与几何与力学脱离开来，使数学的独立性更为清楚。他在数值计算上的主要贡献是发展了欧拉所开创的变分法，为变分法奠定了理论基础。近百余年来，数学领域的许多新成就都可以直接或间接地溯源于拉格朗日的工作，在数学史上被认为是对数学的发展产生全面影响的数学家之一。 拉格朗日(Joseph-Louis Lagrange，1736～1813) 拉格朗日1736年生于意大利都灵，1813年卒于巴黎。 在近代，插值法是观测数据处理和函数制表所常用的工具，又是导出其它许多 数值方法（如数值积分、非线性方程求根、微分方程数值解等）的依据。插值法的一般参考资料见文献[1,2]，关于样条的一篇有重要影响的论文参见文献[3]。 插值一词最早是由Wallis提出的，公元6世纪，中国刘焯已将等距二次插值用于天文计算。17世纪，牛顿和格雷果里建立了等距节点上的插值公式。18世纪，拉格朗日给出了更一般的非等距节点上的插值公式。1946年, Schoenberg 首先提出了样条插值函数。 [1] P. J. Davies. The Finite Element Method: A First Approach. Oxford University Press, New York, 1980. [2] M. J. D. Powell. Approximation Theory and Methods.Cambridge University Press, New York, 1981. [3] I. J. Schoenberg. Contributions to the problem of approximation of equidistant data by analytic functions. Quarterly of Applied Mathematics 4, 1946. 参考文献 ? 问 题 ? 分段低次插值虽然具有简单、收敛性、整体连续性及数值计算的稳定性等优点，但在节点处常有“尖点”出现，光滑性较差。特别是需要给出节点处的导数值，这在多数问题中是不实际的。如何在没有节点导数数据时也能达到上述目的？为此引入样条插值函数。 七、三次样条插值 1.引入 定义：设对y = f (x)在区间[a, b]上给定一组节点 a = x0 x1 x2 … xn = b和相应的函数值y0, y1,…, yn， 如果s(x)具有如下性质： （1）在每个子区间[xi-1, xi] (i = 1, 2,…, n)上s (x)是不高 于三次的多项式; （2）s (x)，s ’ (x)，s? (x)在 [a, b]上连续；则称s (x)为 三次样条函数.如再有 （3） s (xi ) = f (xi) (i = 0, 1, 2,…, n)， 则称s (x)为y = f (x)的三次样条插值函数。 注：三次样条与分段 Hermite 插值的根本区别在于S(x)自身光滑，不需要知道 f 的导数值（除了在2个端点可能需要）；而Hermite插值依赖于f 在所有插值点的导数值。 S(x) H(x) f(x) 给定函数f(x)在 [a, b]上的一组节点： 及节点上的函数值 ， 函数S(x)是满足下列条件的函数 的三次样条插值 (2) S(x)在子区间 上是三次多项式，记为 ; ； 2. 三次样条插值函数的构造 (3) 在插值节点处连续，即 (4) 即 (1) 。 要保证S(x)的存在唯一性，必须附加两个边界条件。例如，满足下列四种边界条件中的任意一个： (1) 固支边界条件（D1-样条）： 3. 边界条件 (2) 弯矩边界条件（D2-样条）： (3) 自然边界条件（自然样条）： (4) 周期边界条件（周期样条） ： 上述几种边界条件都有它们的实际意义，从力学角度看，附加边界条件相当于在细梁两端加上约束。工程中常用自然边界条件求样条插值函数，这类插值函数称为自然样条函数，利用插值条件和连续线性条件列出线性方程组并求解，是一种构造样