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应用根与系数关系莫忘判别式 湖北省黄石市下陆中学　宋毓彬 ? 例1　已知x、x是方程2x－2x+1－3m=0的两个实数根，且xx+2（?x+x）＞0，那么实数m的取值范围是??????????。 ? 解析：⑴方程有两个实数根，则（-2）－4×2（1－3m）≥0，∴m≥ ? ⑵由韦达定理x+x=1，xx=?，又xx+2（?x+x）＞0 ? 即有+2＞0???∴m＜?? ????∴实数m的取值范围是≤m≤ ? 点拨：应用韦达定理的前提是要保证方程存在实数根。 ? 例2　若关于x的一元二次方程3x+3（a+b）x+4ab=0的两个实数根x、x满足关系式x（?x+1）+ x（x+1）=（x+1）（x+1），判断（a+b）≤4是否正确？若正确，请加以证明；若不正确，请举一反例。 ? 解析：⑴由x（?x+1）+ x（x+1）=（x+1）（x+1），?变形得： ? （x+x）－3 xx－1=0???由韦达定理有x+x=－（a+b），xx=ab ? 即有（a+b）－4ab－1=0???∴（a+b）=4ab+1 ? ⑵方程有两个实数根，由根的判别式9（a+b）－48ab≥0，∴（a+b）≥ab ? ∴4ab+1≥ab，可得4ab≤3?????∴（a+b）=4ab+1≤4。 ? 点拨：由根的判别式作中间条件推导出4ab≤3是本题的解题关键。 ? 例3　设x、x是方程2x－4mx+2m+3m－2=0的两个实数根，当m为何值时x+x有最小值？并求出这个最小值。 ? 解析：⑴由根的判别式16 m－8（2m+3m－2）≥0，??∴m≤ ? ⑵由韦达定理有x+x=2m，xx= ? 设y= x+x=（x+x）－2 xx=4 m－（2m+3m－2） ? ?? =2 m－3m+2=2（m－）+ ? y关于m的二次函数对称轴m=，m≤＜时，y随m的增大而减小 ? ∴m=时，y有最小值，即x+x有最小值。最小值为：2（－）+= ? 点拨：由根的判别式确定m的取值范围，从而正确地确定二次函数区间上的最小值。 ? 练习： ? 1．若关于x的方程2x－2x+3m－1=0有两个实数根x、x，且xx＞x+x－4，则实数m的取值范围是（????）。 ? A．m＞；? B。m≤；? C。m＜；?D。＜m≤ ? 2．△ABC的一边长为5，另两边长恰为方程2x－12x+m=0的两根，则m的取值范围是??????????。 ? （1．参考答案：B；2．点拨：由方程两根之差小于第三边，结合韦达定理、判别式可求得＜m≤18）