06超静定问题.pptVIP

例6-1 1、2、3三杆用铰链连接如图，各杆长度和刚度如图所示，外力沿铅垂方向。求各杆的内力。 变形协调方程： 3. 变形相容条件为 4. 补充方程为 5. 由此得多余未知力 6. 杆的横截面上的温度应力为 若该杆为钢杆而?l =1.2×10-5/(?C)，E=210GPa，则当温度升高Dt =40?时有 （压应力） §6-3 扭转超静定问题 例题6-5 两端固定的圆截面等直杆AB，在截面C处受扭转力偶矩Me作用，如图a。已知杆的扭转刚度为GIp。试求杆两端的约束力偶矩以及C截面的扭转角。 (a) 解: 1. 有二个未知约束力偶矩MA, MB，但只有一个独立的静力平衡方程 故为一次超静定问题。 (a) MA MB 2. 以固定端B为“多余”约束，约束力偶矩MB为“多余”未知力。在解除“多余”约束后基本静定系上加上荷载Me和“多余”未知力偶矩MB，如图b；它应满足的位移相容条件为 注：这里指的是两个扭转角的绝对值相等。 另一约束力偶矩MA可由平衡方程求得为 3. 根据位移相容条件利用物理关系得补充方程： 由此求得“多余”未知力，亦即约束力偶矩MB为 4. 杆的AC段横截面上的扭矩为 从而有 (a) 例题6-6 由半径为a的铜杆和外半径为b的钢管经紧配合而成的组合杆，受扭转力偶矩Me作用，如图a。试求铜杆和钢管横截面上的扭矩Ta和Tb，并绘出它们横截面上切应力沿半径的变化情况。 (a) 解: 1. 铜杆和钢管的横截面上各有一个未知内力矩── 扭矩Ta和Tb(图b)，但只有一个独立的静力平衡方程Ta+Tb= Me，故为一次超静定问题。 Ta Tb (b) 2. 位移相容条件为 3. 利用物理关系得补充方程为 4. 联立求解补充方程和平衡方程得： Ta Tb (b) 5. 铜杆横截面上任意点的切应力为 钢管横截面上任意点的切应力为 上图示出了铜杆和钢管横截面上切应力沿半径的变化情况。需要注意的是，由于铜的切变模量Ga小于钢的切变模量Gb，故铜杆和钢管在r = a处切应力并不相等，两者之比就等于两种材料的切变模量之比。这一结果与铜杆和钢管由于紧配合而在交界处切向的切应变应该相同是一致的。 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第六章 超静定问题 工程力学 第六章 超静定问题 * §6-1 超静定问题及其解法 §6-2 拉压超静定问题 第六章 空间任意力系 §6-3 扭转超静定问题 §6-4 弯曲超静定问题 §6-1 超静定问题及其解法 Ⅰ. 关于超静定问题的概述 (a) (b) 图a所示静定杆系为减小杆1 ,2中的内力或节点A的位移(如图b)而增加了杆3。此时有三个未知内力FN1 ,FN2 ,FN3，但只有二个独立的平衡方程── 一次超静定问题。 (a) (b) 图a所示简支梁为减小内力和位移而如图b增加了中间支座C成为连续梁。此时有四个未知约束力FAx, FA, FB, FC，但只有三个独立的静力平衡方程── 一次超静定问题。 超静定问题：单凭静力平衡方程不能求解约束力或构件内力的问题。 FA FB l (a) FAx A B q (b) l/2 l/2 C FC FAx A B q FB FA Ⅱ. 解超静定问题的基本思路 例1 超静定结构 解除“多余”约束 基本静定系 (例如杆3与接点A的连接) 在基本静定系上加上原有荷载及“多余”未知力 并使“多余”约束处满足变形(位移)相容条件 相当系统 1 2 B C A F FN3 FN3 A D 于是可求出多余未知力FN3 。 由位移相容条件 ，利用物理关系(位移或变形计算公式)可得补充方程： 1 2 B C A F FN3 FN3 A D 基本静定系 A B l 补充方程为 于是可求出多余未知力FC。 位移相容条件ΔCq+ΔCFC=0 相当系统 A B l/2 q l FC 例2 超静定梁 y x l/2 l/2 C A B q Ⅲ. 注意事项 (1) 超静定次数=“多余”约束数=“多余”未知力=位移相容条件数=补充方程数，因而任何超静定问题都是可以求解的。 (2) 求出“多余”未知力后，超静定结构的内力和位移等均可利用相当系统进行计算。 (3) 无论怎样选择“多余”约束，只要相当系统的受力情况和约束条件确实与原超静定系统相同，则所得最终结果是一样的。 (4) “多余”约束的选择虽然是任意的，但应以计算方便为原则。 如上所示连续梁若取B处铰支座为“多余”约束，则求解比较复杂。 x l/2 l/2 C A B q FB y