第6章常微分方程与差分方程6.5线性微分方程解的结构(1357KB).pptVIP

两边积分，取积分常数为零，得 两边积分，取积分常数为零，得 故原方程有一特解 从而，原方程的通解为 例6.46略 例6.47 解 先将方程变形为 所以，对应的齐次的通解为 所以，对应的齐次的通解为 设原方程的解为 由常数变易法知，应有 解之得 在这一节中所讲述的理论均可推广到 n 阶线性微分方程中去。 所以 原方程的通解为 6.5 线性微分方程解的结构 一、高阶线性微分方程的一般理论 二、二阶常系数齐线性微分方程的解 三、二阶常系数非齐线性微分方程的解 一、高阶线性微分方程的一般理论 n 阶线性方程的一般形式为 二阶线性微分方程的一般形式为 通常称 ( 2 ) 为 ( 1 ) 的相对应的齐方程。 我们讨论二阶线性方程的一般理论，所得结论可自然推广至 n 阶线性方程中。 6.5.1 函数组的线性无关和线性相关 例 证 由三角函数知识可知，这是不可能的，故 例 证 定理： 朗斯基 ( Wronsky ) 行列式 朗斯基行列式可以推广到 n 个函数的情形。 例 1. 二阶齐次线性微分方程的性质和解的结构 定理6.1 叠加原理 的解，则它们的线性组合 也是方程 (2) 的解， 6.5.2 线性微分方程的性质和解的结构 证 的解，则它们的线性组合 也是方程 (2) 的解。 推 广 在什么情况下，叠加所得可以成为方程 (2) 的通解？ (2) 二阶齐线性微分方程解的结构 定理6.2 的两个线性无关的解，则 是方程 (2) 的通解。 定理 2 例 解 又容易看出： 而 由叠加原理，原方程的通解为 问题： 该问题的解决归功于数学家刘维尔。 代入方程中，得 怎么做？ 关于 z 的一阶线性方程 即 故有 两边积分，得 关于 z 的一阶线性方程 定理6.3 为原方程的通解。 则 （刘维尔公式） 例 解 由刘维尔公式 故原方程的通解为 2. 二阶非齐线性微分方程解的结构 (1) 解的性质 性质 1 的一个特解，则 是原方程的一个特解。 性质 2 的一个特解，则 是方程 的一个特解。 （定理6.7） 性质 3 是其对应的齐方程 的一个特解。 性质 4 的一个特解。 （P.328定理6.8） 如何求特解？ 定理6.6 的通解，则 是方程 (1) 的通解。 由性质1 以及通解的概念立即可以得知该定理成立。 6.4.3 二阶线性微分方程的常数变易法 (例6.45略) 常数变易法 则有 令 以下推导的前提 于是 对上式两边关于 x 求导，得 这两部分为零。 即 联立 (3)、(4) 构成方程组 解此方程组，再积分，并取积分常数为零，即可得到 例 解 该方程所对应的齐方程为 它就是我们刚刚讲过的例题，由刘维尔公式得其通解为 由常数变易法，解方程组