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§3.4 泰勒公式 泰勒公式 几个常用函数的泰勒公式 泰勒公式的应用 一、泰勒公式 （如下图） 以直代曲 不足: 1、精确度不高； 2、误差不能估计. 本节研究以下两个问题: (1) 是否可选取一简单曲线 n 次代数多项式 即以简单曲线逼近复杂曲线 ? (2) 逼近的误差 是否可给出 一个明确的表达式 ? 设 y = f (x) 在 x0 处有直至 n 阶的导数 , 下面 考虑寻找一 n 次代数多项式 Pn(x) , 使它在 x0 处 较好地逼近 f (x) 分析: 2.若有相同的切线 3.若弯曲方向相同 近似程度越来越好 1.若在 点相交 则由 即 称多项式 为函数 在点 处关于 的泰勒多项式.（唯一确定） 例 求函数 y =ln(1+x) 的关于 x 幂的 n 次泰勒多项式 解 取 x0 = 0 , 下面计算 称 为函数 在点 处的n阶泰勒公式. 也是用n次多项式来近似函数 的截断误差. 余项 为 佩亚诺型余项, 拉格朗日形式的余项 皮亚诺形式的余项 证明: 注意: 3.拉格朗日型余项主要用于证明命题，皮亚诺型余项主要用于求极限. 麦克劳林(Maclaurin)公式 二、几个常用的 n 阶泰勒公式 ( 在 x0 = 0 处 ) (1) f (x) = sinx 取 n = 2m , 则有 其中 ξ介于 0 与 x 之间 (2) f (x) = cosx 取 n = 2m+1 , 则有 其中 ξ介于 0 与 x 之间 (3) f (x) = e x 其中 ξ介于 0 与 x 之间 (4) f (x) = ln(1+x) 其中 ξ介于 0 与 x 之间 (5) f (x) = (1+x)α , α?R 所以有 其中 ξ介于 0 与 x 之间 （1） （2） （3） （4） （5） 带佩亚诺型余项的泰勒公式 解： 三、泰勒公式的应用 1.利用带皮亚诺型余项的泰勒公式求极限 例1 求下列函数的极限 （1） 解：（1）原式 （2） 解（2）原式 （3） 解（3）原式 例 计算 解 因为 (2) 在无穷小阶的估计中的应用 例 当 a , b 为何值时 , 量 x ? (a + b cosx)sinx 是 x 的 5 阶无穷小? 解 为使之为 5 阶无穷小 , 充要条件是: 解得: 所以当 时 , 原式为 5 阶的无穷小 例 试确定常数 a 和 b , 使当 x ? 0 时 为 x 尽可能高的无穷小 , 并求此阶数 解 又 解得 所以 , 当 时, 函数 f (x)为 7 阶的 无穷小 (3) 在近似计算中的应用 其中 ξ介于 x0 与 x 之间 . 例 计算 e 的值 , 准确到 10-6 解 先确定 n 为多大时才能保证精度 . 令 x =1 得 (ξ介于 0 与 1之间) n 阶泰勒公式 , 有 利用 ex 的 取 n =10 , 则有 (4) 在一些证明题中的应用 例 如果在 ( a , b ) 内 证明: 对 (a , b)内 的任意 n 个点 有不等式 证明 令 则对每一 xi , 利用泰勒公式有 由 推得 所以 ,得到 常用不等式 例 设 f (x) 在 [ 0 , 1 ] 上二阶可导 , 且满足 其中 a , b 为非负常数 , 证明: 对任意 c?( 0 , 1 ) 有 解 任取c?( 0 , 1 ) , 利用泰勒公式有 其中ξ介于 c 与 x 之间 . 分别令 x =0 , x =1 , 得 两式相减有