[数学]线性代数PPT2-6.pptVIP

若干推论 * 判断下列线性方程组是否有解,若有解,求出全部解. 例6 解 对增广阵作初等行变换，得同解方程组，再进行判断和求解. * * * 例7 * * b. 齐次线性方程组Ax=0解存在性判别方法 齐次线性方程组系数阵A和增广阵(A|O)的秩总是相等的. * 定理3.2.3 n元齐次线性方程组Ax=o恒有解， 且当r=n时有惟一零解；当rn时有非零解. 推论1 m×n齐次线性方程组Ax=o，当mn时有非零解. 推论2 n×n齐次线性方程组Ax=o有非零解的充分必要条件是其系数阵A的行列式|A|=0；有惟一零解的充分必要条件是其系数阵A的行列式|A|?0. 例8 * * L/O/G/O L/O/G/O §2.6 高斯消元法 线性方程组的有关概念 解的存在性判断与求解 * 定义 1 n个变量的线性方程组称作n元线性方程组, 当常数项bi不全为0时, 称该方程组为非齐次线性方程组; 当常数项bi全为零时, 称之为齐次线性方程组, 也称作非齐次线性方程组的导出组. * 称满足方程组的一个有序数组为方程组的一个解,一般记作 列向量(列矩阵)形式为： 形如： 1.有关定义 说明 当线性方程组有无穷多解时,其全部解的集合称为方程组的通解或一般解. 当线性方程组有解时,称方程组是相容的,否则便是不相容的. “解方程组”,就是判断线性方程组是否有解,在有解时求得满足方程组的惟一解或全部的解(通解)的过程. * “解线性方程组”常用方法为高斯消元法. 消元过程中需要反复应用线性方程组的初等变换. 定义2 以下三种变换统称为线性方程组的初等变换(以Lj , Lj 表示第 i或第j个方程)： (1)?交换两个方程，记作 以上初等变换的逆变换分别为 （1）交换两个方程，记作； * (2) 第i个方程乘以非零常数k，记作 (3) 以非零常数k乘以方程加到方程，记作 （2）第i个方程乘以非零常数1/k，记作； （3）以非零常数?k乘以方程加到方程，记作 说明 如果线性方程组（Ⅰ）经过一次初等变换化为线性方程组（Ⅱ），则称方程组（Ⅰ）、（Ⅱ）是同解方程组，也称方程组（Ⅰ）与方程组（Ⅱ）等价. 线性方程组等价，满足自反性，对称性和传递性. 线性方程组经过有限次初等变换后所得方程组与原方程组等价. 经过初等变换后,如果方程组中包括这样的方程： * 当b?0时，方程L没有解，因此方程组没有解; 如果b=0 ，则任一n维向量均满足L，所以运算中可以将方程L从方程组中删除，所得方程组仍与原方程组等价. 三角形方程组和梯形方程组 定义3 说明 * 称形如以下的方程组为三角形方程组， (1)三角形方程组的特点是方程组中方程个数与变量个数相等，且akkxk 为第k个方程的非零首项. (2)三角形方程组的解法:由最后一个方程开始逐步回代求出方程组各个变量的值，从而得出方程组的解; (3)利用克莱姆法则可以判定，其解惟一. 定义4 称以下形式的方程组为梯形线性方程组 说明 (1)梯形线性方程组中方程个数m小于等于变量个数n. (2)当r=m=n 时上式即为三角形线性方程组. (3)梯形线性方程组中不是首项非零元的变量都是自由变量. (4)自由变量仅应用于梯形线性方程组. 例5 确定线性方程组的自由变量. * 方程组中首项非零元是 自由变量是 定理 梯形线性方程组(*)当r=n时有惟一解，当rn时，对n?r个自由变量每赋一组值，便确定方程组的一个解. 依据上述定理，当rn时，我们可以很容易地求出梯形线性方程组参数形式的通解. 例6 求线性方程组的通解 * 这个梯形方程组首项非零元是x1, x3 ， 则x2, x4 为自由变量，解得 在这个同解方程组 中， 令 即为该线性方程组参数形式的通解，这里c1, c2 为参数. 得 * 2 高斯消元法 1.高斯消元法 2. 矩阵形式的线性方程组 3. 利用矩阵的秩讨论线性方程组解的存在性 * (1) 高斯消元法 高斯消元法是将一般线性方程组化为三角形线性方程组或梯形线性方程组的形式或是确定线性方程组无解的一种方法. * 高斯消元法的具体步骤： （1） 交换方程，使第一个方程第一个变量x1 的系数a11不为零， （2） 以 a11为主元，运用初等变换消去方程组中除第一个以外  各个方程中的x1 ； （3） 检验每个方程是否退化, 即 ①???? 若有形式为0=0