[数学]经典洛必达法则ppt.pptVIP

中值定理与导数的应用 第三章 洛必达法则 高等数学Ⅰ第三章 第一节 微分中值定理 高等数学Ⅰ第三章 第二节 洛必达法则 三、小结 例 解 例 解 解 注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法,但与其它求极限方法结合使用,效果更好. 例 解 解 先把此定式因式分离出来 例 解 极限不存在 洛必达法则失效. L’Hospital法则的使用条件. 注 用法则求极限有两方面的局限性 当导数比的极限不存在时,不能断定函数比的极限不存在, 其一, 这时不能使用洛必达法则. 可能永远得不到结果! 分子，分母有单项无理式时,不能简化. 如 其实: 其二 用法则求极限有两方面的局限性 例 解 关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决 的类型 步骤: 或 例 解 例 解 步骤: 例 解 Guan 法一：化为指数函数 法二：取对数 步骤: 步骤: 1 ln lim ln lim ln - = = v u u v u v lim 例 解 例 解 例 解 例 解 还有别的方法吗? 例 解 数列的极限 转化为函数的未定式的极限! 由于 是 中的一种特殊情况, 所以有 不能用洛必达法则 解 法一 用三次洛必达法则可求得. 法二 结合其它方法用三次洛必达法则可求得. 法三 x x e e x x x sin lim sin 0 - - ? 求极限 x x e e x x x x sin 1 lim sin sin 0 - - = - ? 原式 x x e e x x x x x sin 1 lim lim sin 0 sin 0 - - × = - ? ? 1 1 1 = × = 均为正数. 解 法一 解 法二 均为正数. 解: 原式 例 求 通分 转化 取倒数 转化 取对数 转化 1. 解 极限不存在 洛必达法则失效. 思考题: 以下解法对否? 注意：洛必达法则的使用条件． 2. 解 1. 解 思考题: 以下解法对否? 2. 解 注意：L’Hospital法则的使用条件． * * 复习 Fermat引理 有定义, 如果对 有 那么 内 的某邻域 在点 设函数 ) ( ) ( 0 0 x U x x f , ) ( 0 存在 且 x f ￠ 推论 例 证明： 三、柯西(Cauchy)中值定理 特别地 这两个 错 ! 柯西中值定理 (1) (2) 使得 柯西定理的下述证法对吗 ? 不一定相同 x 证 作辅助函数 例 证 分析: 结论可变形为 罗尔 定理 Lagrange 中值定理 Cauchy 中值定理 罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理、柯西(Cauchy)中值定理之间的关系: 推广 推广 这三个定理的条件都是充分条件, 换句话说, 满足条件, 不满足条件, 定理可能成立, 不是必要条件. 而 成立; 不成立. 定理 也可能 四、小结 一个引理、三个中值定理、一个推论； 应用三个中值定理常解决下列问题 (1) 验证定理的正确性; (2) 证明方程根的存在性; (3) 引入辅助函数证明等式; (4) 证明不等式; (5) 综合运用中值定理(几次运用). 关键 逆向思维,找辅助函数 思考与练习 1. 填空题 1) 函数 在区间 [1, 2] 上满足Lagrange定理 条件, 则中值 2) 设 有 个根 , 它们分别在区间 上. 方程 分析 且 内可导 在 上连续 在 设 , ) , ( , ] , [ ) ( b a b a x f 2. 设 且在 内可导, 证明至少存 在一点 使 提示: 由结论可知, 只需证 即 验证 在 上满足Rolle定理条件. 设 分析 且 内可导 在 上连续 在 设 , ) , ( , ] , [ ) ( b a b a x f 3. 证 即 且 内可导 在 上连续 在 设 , ) , ( , ] , [ ) ( b a b a x f ). , ( , 0 ) ( , 0 ) ( ) ( b a x x f b f a f ? 1 = = 定理 由 Rolle 4. 若 可导, 试证在其两个零点间一定有 的零点. 提示: 设 欲证: 使 只要证 亦即 作辅助函数 验证 在 上满足 罗尔定理条件. 定义 定理1：设 定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则. 型未定式解法： 1、 0 0 则有 证明：注意，x = a 有可能是 f (x) 和 F(x) 的间断点 故 x = a 只可能是可去间断点 （2）使用