[数学]第三章二次型.pptVIP

第三章 二次型 4.1 矩阵的特征值与特征向量 4.1.1 特征值与特征向量的概念 定义 注解 例1 例3 4.1.2 特征值与特征向量的性质 推广 例4 例5 4.2 正交矩阵 4.2.1 向量组的正交规范化 内积的性质 向量的长度 定义 例6 规范正交向量组 定义 施米特正交化方法 施米特正交化方法（续） 施米特正交化方法（续） 施米特正交化方法 (续) 例7 例8 4.2.2 正交矩阵 正交矩阵的性质 例9 4.3 二次型 4.3.1 二次型及其标准形 二次型及其系数矩阵 对称矩阵理论 化二次型为标准形 利用配方法化二次型为标准形 例11 例12 4.3.2 利用正交变换化实二次型为标准形 例13 4.3.3 正定二次型 例15 小结 习题课 问题1 向量组的正交规范化 问题2 求矩阵的特征值与特征向量 问题3 化二次型为标准形 问题4 判定二次型（或对称矩阵）为正定的方法 已知 求非零向量 使三者两两 正交. 解: 与 正交的向量 应满足: 其基础解系可取为: 将它们正交化即得 定义 例如 若 n 阶方阵 A 满足 则称 A 为正交矩阵. 是正交矩阵. (1) A 为正交阵 A 的列向量为单位正交向量组 A 的行向量为单位正交向量组 (2)正交矩阵的列向量构成 的一个规范正交基. (3) A为正交阵, (4) 若 A,B 均为正交阵, 则 AB 是正交阵. 若 P 为正交阵, 则称线性变换 正交变换的定义 为正交变换. 保向量长度不变 保三角形形状不变 证明 是正交阵. 证 所以，A是正交阵. 4.3.1 二次型及其标准形 4.3.2利用正交变换化实二次型为标准形 4.3.3正定二次型 平面解析几何中的二次曲线: 坐标旋转变换 定义 含 n 个变量的二次齐次函数 称为二次型(或二次齐式) 二次型可写为: 1–1对应 (1) 可见, 二次型 对称矩阵 A 称 A 为二次型 f 的系数矩阵, f 为矩阵 A 的二次型, A 的秩称为二次型 f 的秩 . 均为实数时, 称 f 为实二次型. 例10 解 所以, f 的秩 = R(A) = 3 定理 实对称矩阵的特征值均为实数. 定理 实对称矩阵的不同特征值所对应的特征 向量必正交. 则必有正交矩阵P， 定理 若A为实对称矩阵， 使得 其中 为A的特征值. 问题: 给定二次型 求可逆线性变换 (2) (2) 式称为二次型的标准形或法式, 其系数矩阵为对角阵: 化二次型 为标准形, 并求所用的变换矩阵. 解 令 即 变换矩阵 化下述二次型为标准形, 并求所用的变换矩阵. 解 令 即 则 特点：无平方项！ 令 即 亦即 所求标准形: 线性变换为: 变换矩阵为 定理 任给二次型 总存在 正交变换 使 f 化为标准形: 其中 为A 的特征值, P 的列为对应特征向量. 将 f 化为标准形的步骤: 1. 写出 f 矩阵 A 2. 求A的特征值与正交规范特征向量系： 3. 令 则得 求正交变换 把下述二次型化为标准形: 解 f 的矩阵为 得A 的特征值 : 对? 1= ?3, 解 得基础解系 单位化得 对? 2= ? 3 = ? 4 =1, 解 得基础解系 它们已经两两正交, 将其单位化得: 于是得正交阵 A的特征值 通过正交变换 二次型化为 定义 为实二次型, 若对任何 都有 f 0, 则称 f 为正定二次型, 系数矩阵A称为正定矩阵; 若对任何 都有 f 0, 则称 f 为负定二次型, 系数矩阵A称为负定矩阵. 例如，n元二次型 是正定二次型. 惯性定理 设有二次型 其秩为 r , 在两个实线性变换 下, f 分别化为 中的正系数个数 等于 中的正系数个数. 二次型的标准形中正系数个数称为正惯性指数, 负系数个数称为负惯性指数. 二次型为正定的充要条件 1、实二次型 正定的充分必要条件是 f 的标准形中n 个系数全为正 . ( 即正惯性指数 = n ) 推论: A 为对称矩阵, 则 A 正定 A 的特征值 0 . 二次型为正定的充要条件(续) A的各阶顺序主子式都为正 . 2、n阶对称矩阵A为正定的充分必要条件是： 即 n阶对称矩阵A为负定的充分必要条件是： A的偶数阶顺序主子式为正 ，奇数阶顺序主子式为负. 例14 判别 的正定性. 解 f 的矩阵 ? f 为负定二次型