[数学]84-5空间曲线平面及其方程.pptVIP

第七章 第四-五节 一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 如:将下列曲线化为参数方程表示: 三、空间曲线在坐标面上的投影 第五节 平面的点法式方程 平面的一般方程 两平面的夹角 小结 内容小结 按照两向量夹角余弦公式有 两平面夹角余弦公式 两平面位置特征： // 例6 研究以下各组里两平面的位置关系： 解 两平面相交，夹角 两平面平行 两平面平行但不重合． 两平面平行 两平面重合. 解 点到平面距离公式 ★空间曲线的一般方程、参数方程． ★空间曲线在坐标面上的投影． * * 第八章 一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影 第四节 空间曲线及其方程 空间曲线的一般方程 曲线上的点都满足 方程，满足方程的点都在 曲线上，不在曲线上的点 不能同时满足两个方程. 空间曲线C可看作空间两曲面的交线. 特点： 例1 方程组 表示怎样的曲线？ 解 表示圆柱面， 表示平面， 交线为椭圆. 例2 方程组 表示怎样的曲线？ 解 上半球面, 圆柱面, 交线如图. 空间曲线的参数方程 动点从A点出发，经过t时间，运动到M点 螺旋线的参数方程 取时间t为参数， 解 螺旋线的参数方程还可以写为 螺旋线的重要性质： 上升的高度与转过的角度成正比． 即 上升的高度 螺距 解: (1) 根据第一方程引入参数 , (2) 将第二方程变形为 故所求为 得所求为 消去变量z后得： 曲线关于 的投影柱面 设空间曲线的一般方程： 以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面. 投影柱面的特征： 如图:投影曲线的研究过程. 空间曲线 投影曲线 投影柱面 类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影 面上的投影曲线, 面上的投影曲线, 空间曲线在 面上的投影曲线 例4 求曲线 在坐标面上的投影. 解 （1）消去变量z后得 在 面上的投影为 所以在 面上的投影为线段. （3）同理在 面上的投影也为线段. （2）因为曲线在平面 上， 截线方程为 解 如图： 补充: 空间立体或曲面在坐标面上的投影. 空间立体 曲面 例6 解 半球面和锥面的交线为 一、平面的点法式方程 二、平面的一般方程 三、两平面的夹角 平面及其方程 第八章 如果一非零向量垂直 于一平面，这向量就叫做 该平面的法线向量． 法线向量的特征： 垂直于平面内的任一向量． 已知 设平面上的任一点为 必有 平面的点法式方程 平面上的点都满足上述方程，不在平面上 的点都不满足上述方程，上方程称为平面的方 程，平面称为方程的图形． 其中法向量 已知点 解 取 所求平面方程为 化简得 取法向量 化简得 所求平面方程为 解 由平面的点法式方程 平面的一般方程 法向量 平面一般方程的几种特殊情况： 平面通过坐标原点； 平面通过 轴； 平面平行于 轴； 平面平行于 坐标面； 类似地可讨论 情形. 类似地可讨论 情形. 设平面为 由平面过原点知 所求平面方程为 解 设平面为 将三点坐标代入得 解 将 代入所设方程得 平面的截距式方程 设平面为 由所求平面与已知平面平行得 （向量平行的充要条件） 解 化简得 令 代入体积式 所求平面方程为 定义 （通常取锐角） 两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角.