[教育学]第4章 方差分析.pptVIP

第4章 方差分析 4.1 方差分析的意义 方差分析是数理统计的基本方法之一，是工农业生产和科学研究中分析数据的一种工具。 方差分析的目的是确定观测对象的影响因子。 方差分析就是鉴别各因素效应的一种有效方法。 讨论的问题是如何检验三个或更多个总体均值的差异，从理论上讲，用t检验也是可以的，只是必须一对一对地进行，这很烦琐。而用方差分析方法，可以比较简便地解决这类问题。 4.2 单因素试验的方差分析 4.2.1 问题的提出 例4-1 考察温度对某一化工产品收率的影响，选了5种不同的温度，同一温度下做了3次试验，测得结果如表4-l。试问温度的变化是否显著影响产品的收率？ 这个实验的目的是确定各温度水平间产品的收率有无显著差异。从表4-1的数据中可以看出，不同温度下的收率是不同的，即使在同一温度下，收率也不一样。产生这些差异的原因是由于偶然因素的干扰及测量误差所造成的？还是由于实验条件的变化而影响的呢？换句话说，这些差异是试验误差(随机误差)还是条件误差(系统误差)呢？这个问题可以通过方差分析的方法得出结论。 4.2.2 单因素试验的方差分析方法 单因素试验： 在一项实验中，只有一个因素在改变，而其他因素保持不变的。 因素所处的状态称为水平。 在例4-1中，考察的因素是温度，有5个温度等级，即5个水平。 设因素A有J个水平A1， A2，…Aj，…，AJ，在每个水平下都做了I 次测试，水平Aj下第i次试验数据用 表示。 单因素多水平试验安排表如表4-2所示。 若把每一水平下的实验数据(表4-2的每一列)看做是一个子样的话，可得J个子样，设这J个子样相互独立，且它们来自J个总体的方差都相同，即 = = … = = … = = 这叫做方差齐性。方差齐性的假设是方差分析的前提。 我们的任务是检验J个总体的均值是否相等，亦即假设 … … 检验这一假设是否成立。这就是单因素试验的方差分析所要解决的问题。那么如何确定检验的统计量呢？下面推导。 定义总变差或总平方和 (4-1) 其中 叫做总平均值。整批数据的个数是因素水平的个数J与测定次数I的乘积，令n=IJ，则有 (4.2) 总变差QT包括了试验误差和条件变差，若能将二者分开，然后加以比较，问题就好解决了。事实上是可以分开的。记在水平Aj下的子样平均值，即表4-2中列数据的平均值 (j=1,2,…，J) (4.3) 从式(4.1)出发进行推导 因交叉乘积项求和 得 = 所以 得: 若令 (4.4) (4.5) 于是可得 = + (4.6) 反映了子样内的随机波动，即试验误差。亦称组内平均误差或误差平方和。 反映了子样之间的差异(由于因素水平不同而引起的差异)，即条件变差，亦称组间平方和。 若判断因素A对实验结果的影响是否显著，就要判断条件变差与试验误差相差的程度，可用F 检验来进行。令 (4.7 )