[数学]05傅立叶级数和傅立叶积分变换.pdfVIP

第五章Fourier变换  §5.1 Fourier级数  §5.2 Fourier积分与Fourier积分变换  §5.3 δ函数 数学物理方法 在自然科学和工程技术中为了把较复杂的运算 转化为较简单的运算，人们常采用变换的方法来达 到目的． 积分变换能够将分析运算（如微分、积分）转化 为代数运算，是微分方程、偏微分方程的求解中重 要的方法之一． 积分变换的理论方法在许多科学技术领域中，例 如物理学、力学、现代光学、无线电技术以及信号 处理等方面，作为一种研究工具发挥着十分重要的 作用． 数学物理方法 §5.1 Fourier级数 （一）周期函数的傅立叶展开 设f (x)是周期为2l （l0）的函数，即f (x +2l)=f (x) 。 那么f (x)可展开成如下三角函数级数  k  k f (x ) a  a cos x  b sin x 0  k  k k 1 l k 1 l 基本函数族：1, cos πx , cos 2πx ,..., coskπx ,... l l l πx 2πx kπx sin , sin ,..., sin ,... l l l 是正交的，其中任意两个函数的乘积在一个周期上的 积分等于零，即 数学物理方法  l kπx l 1cos l dx 0 (k  0)  l 1sin kπx dx 0  l l   l kπx nπx l cos l cos l d x 0 (k n)   l kπx nπx l sin l sin l d x 0 (k n )   l kπx nπx l cos l sin l d x 0  数学物理方法  k  k f (x ) a  a cos x  b sin x 0  k  k k 1 l k 1 l 利用三角函数正交性，可得 1 l a 0 2l l f ()d 1 l