[教育学]5-2等差数列.pptVIP

[例4]　在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n取何值时，Sn有最大值，并求出它的最大值． [思路探究]　此题可有多种解法，一般可先求出通项公式，利用不等式组确定正负转折项，或者利用性质确定正负转折项，然后求其和的最值． ∴12≤n≤13，n∈N*， ∴当n＝12或13时，Sn有最大值，S12＝S13＝130. 解法二：由a1＝20，S10＝S15，解得公差d＝－， ∵S10＝S15，∴S15－S10＝a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0， ∵a11＋a15＝a12＋a14＝2a13，∴a13＝0. ∵d0，a10，∴a1，a2，…，a11，a12均为正数，而a14及以后的各项均为负数． ∴当n＝12或13时，Sn有最大值，S12＝S13＝130. [思维拓展]　求等差数列前n项和的最值，常用的方法：①利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值；②利用等差数列的前n项和Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)为二次函数，利用二次函数的性质求最值． 即时训练已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99.又Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是(　　) A．21 B．20 C．19 D．18 解析：∵{an}为等差数列， ∴a1＋a3＋a5＝105?a3＝35， a2＋a4＋a6＝99?a4＝33， d＝a4－a3＝33－35＝－2， 等差数列知识在高考中属必考内容，通常直接考查等差数列的通项公式，前n项和公式的题目为容易题，常以选择题、填空题形式出现，而与其他知识(函数、不等式、解析几何等)相结合的综合题一般为解答题，难易程度为中档题． [分析]　本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式的应用、裂项法求数列的和，熟练掌握数列的基础知识是解答好本类题目的关键．对(1)可直接根据定义求解；(2)采用裂项求和即可解决． 1．(2010·福建高考)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 2．(2010·浙江高考)设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和Sn，满足S5S6＋15＝0，则d的取值范围是________． 高三总复习 人教A 版 ·数学 （理） 第二节 等差数列 1.理解等差数列的概念． 2．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式． 3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题． 4．了解等差数列与一次函数的关系. 1．等差数列的有关定义 (1)一般地，如果一个数列从 起，每一项与它的前一项的 都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为 (n∈N*，d为常数)． 第二项 差 an＋1－an＝d 3．等差数列的性质 (1)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则有 ，特别地，当m＋n＝2p时， . 注：此性质常和前n项和Sn结合使用． (2)等差数列中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列． (3)等差数列的单调性：若公差d0，则数列为 ；若d0，则数列为 ；若d＝0，则数列为 am＋an＝ap＋aq am＋an＝2ap 递增数列 递减数列 常数列． 1．已知等差数列{an}中a1＋a2＝4，a7＋a8＝28，则数列的通项公式an为(　　) A．2n　　　　　　　　　 B．2n＋1 C．2n－1 D．2n＋2 解析：由已知得： (a7＋a8)－(a1＋a2)＝12d＝24， ∴d＝2，∴a1＋a1＋d＝4，∴a1＝1， ∴an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1. 答案：C 3．已知等差数列{an}满足a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，则它的前10项的和S10等于(　　) A．138 B．135 C．95 D．23 解析：∵a2＋a4＝4，a3＋a5＝10， ∴(a5－a4)＋(a3－a2)＝2d＝6. 5．已知等差数列{an}其前n项和为Sn，且S10＝10，S20＝30，则S30＝________. 解析：∵S10，S20－S10，S30－S20成等差数列， ∴2(S20－S10)＝S10＋S30－S20， ∴40＝10＋S30－30，∴S30＝60. 答案：60 [例1]　等差数列{an}的前n项和记为Sn，已知a10＝30，a20＝50. (1)求通项an； (2)若Sn＝242，求n. 即时训练 设{an}是一个公差为d(d≠0)的等差数列，它的前10项和S10＝110且a1，a2，a4成等比数列．