空间向量的座标表示法.PDFVIP

1-2 空間向量的 座標表示法 ◎空間座標系 ※右手空間座標系 : 在空間取三條兩兩互相垂直的直線做為坐標軸，分別稱為 x軸， y軸 與z軸，如下圖左。通常我們取坐標軸的正向，使它構成一個右手系方向。也就是說，如 果你右手四隻指頭彎曲的方向是從 x軸正向到 y軸正向，則大拇指的方向就是 z軸的正向 , 而且取x軸與 y軸使它們在水平平面上， z軸為向上的鉛垂線。有時為了圖形簡潔，我們 把坐標軸的負向部分省略不畫出來，如下圖右。 ※平面與卦限: 在坐標空間裡，x軸與 y軸所在的平面稱為 xy 平面。同樣地，y軸與 z軸 所在的平面稱為 yz 平面，z軸與 x軸所在的平面稱為 xz 平面。這三個平面將空間分為八個 區，每一區稱為一個卦限。通常我們將坐標皆為正的那個卦限稱為第 Ⅰ卦限，其他七個區 就不給特別的順序編號。 ※點的座標 :若 P為空間中一點 ，過P點分別作一平面與 軸x ,y軸， 軸垂直，則這三平面順次z 與軸，x 軸，y 軸交點的坐標z a ，b ，c分別稱為P點的 x 坐標,y坐標,z坐標，而（a ，b ，c ）就稱 為P點的坐標，通常我們以 P （a ，b ，c ）表示P點的坐標為（ a ，b ，c ）。要找出空間一點P 的坐標時，也可以從 P點向 xy平面作垂線，再從垂足分別向軸與x 軸作垂線y 即可得知, P點的 坐標。 ※投影座標:若 P為空間中一點，P （a ，b ，c ），則 1. P在軸上的投影點座標為（x a ，0 ，0 ），對稱點座標為（a ，-b ，-c ）。 2. P在軸上的投影點座標為（y 0 ，b ，0 ），對稱點座標為（-a ，b ，-c ）。 3. P在軸上的投影點座標為（z 0 ，0 ，c ），對稱點座標為（-a ，-b ，c ）。 4. P在xy平面上的投影點座標為（a ，b ，0 ），對稱點座標為（a ，b ，-c ）。 5. P在yz平面上的投影點座標為（0 ，b ，c ），對稱點座標為（-a ，b ，c ）。 6. P在xz平面上的投影點座標為（a ，0 ，c ），對稱點座標為（a ，-b ，c ）。 10 例題 1 右圖是坐標空間中的一個長方體 , 求D, E, F, G各點的坐標。 答 : D (2,3,0), E (2,0,4), F (0,3,4), G (2,3,4). × B( x , y , z ) ※距離公式 :空間中兩點A(x , y , z ) ， 2 2 2 ，則 1 1 1 AB  ( x  x )2 ( y  y )2 (z  z )2 。 1 2 1 2 1 2 證明： ※分點公式:設 A ，B ，C的坐標為 A （x ，y ，z ），B （x ，y ，z ）。P點在 上，且 ： 1 1 1 2 2 2 AB AP nx1  mx2 ny1 my2 nz1  mz2 PB ＝m ：n ，則P點的坐標為（ ，