数学是-群组.PPTVIP

* 数学与客观世界 刘新建 2006年11月30日 * 选题背景 畏惧数学、逃避数学 滥用数学、玩符号游戏 * 内容结构 数学的重要性 数学的性质 数学与客观世界的关系 数学的简易性和复杂性 几种对数学的误用案例 * 数学的普遍性和有用性：名人言论 马克思： 一种科学只有在成功地运用数学时,才算达到完善的地步” “任何科学只有在数学得以成功地应用于其中时才能被认为是完美的科学” 华罗庚： “宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工之巧,地球之变,生物之谜, 日用之繁,无处不用数学。” 培根： 数学是“通向科学大门的钥匙”。 * 名人言论 伽利略： “自然界的伟大的书是用数学语言写成的”。 爱因斯坦： “理论物理学家越来越不得不服从于纯数学的形式的支配”。 “由于数学家研究相对论，我再也搞不懂它了。” 刘新建： 纯数学系统是一种符号演绎系统，数学存在的社会意义是可以在纯数学系统与物质世界系统之间建立起一种对应关系，从而使数学成为人类认识和改造物质世界的一种工具。（这一说法对纯数学家不成立，对于他们,数学系统不仅是工具，而且是工作对象。） * 数学的研究对象 纯粹数学研究的实体对象是符号和符号的集合，这些符号可分为两大类：几何符号和代数符号。几何符号有点、线、面、体四大类；代数的符号有变量和常量两大类。 数学研究的内容对象是符号及符号集合之间的相互关系和共同特征，但在研究之前要规定符号之间最基本的不需要证明的若干性质，即公理或公理化定义。 从以上数学的研究对象看，纯粹数学似乎与客观世界毫无关系，只是人的意识创造，但事实并非如此，否则，就很难保证在实证科学研究中应用数学理论的正确性。关系是什么呢？ * 数学与客观世界的关系 首先，各种数学理论的公理与客观世界有密切的关系，每一条公理都能找到其客观原型。我们简单看一下概率定义中的一条公理： 当与现实相对应时，这个公理应该说是一般人都公认的“真理”，至于这个真理的“真实”正确性如何，它不能用数学理论来证明，而是要接受实证的检验，并且检验的过程是无穷的。 * 数学与客观世界的关系 其次，数学推演结论的正确性不是由数学本身证明的，仍然要回到实践即客观世界中去接受检验。 如由相对论的基本理论在一定的数学形式推演下可以推出反宇宙的解，可以推出时空隧道，但是，反宇宙和时空隧道真的存在吗？这还是需要科学观察和科学实验来证明的。 在我们的经济学中，有许多“著名”经济学家通过他们的数学理论，言之凿凿地说，资本主义是人类社会最完美的经济制度，社会主义和公有经济就是无效率的代名词，他们真的是正确的吗？如微观经济学似乎确证，完全竞争是最有效率的经济组织形式，正确吗？君不见，兼并在当今的世界上越演越烈，垄断正成为世界经济发展的主流，巨无霸公司越来越大，越来越普遍。是那些大资本们错了吗？西方国家在假反垄断吗？人类在退步吗？ * 数学与客观世界的关系 再次，数学的发展与实证科学的发展相互促进，数学的结构与自然的结构具有同构性。 数学家发明的非欧几何和群论被用于理论物理学； 数学规划和博弈论被用于经济学。 物理学和经济学的发展反过来促进数学的发展。 * 高深数学的简易性 一切数学理论都不过是加减乘除的结果。 任何复杂的数学理论都是由几条简易规则发展出来的，就如象棋和围棋，几条规则数分钟就可学会，但要掌握和应用由此产生的千变万化就得下一番苦功夫。 矩阵 * 如果是因为惧怕数学的繁杂和艰苦而放弃数学，那任何东西都不会做很好。任何要做出一点成绩来的事业都是由简单构造起来的复杂系统，需要锲而不舍的努力才能“达到光辉的顶点” * 案例一：正确使用概率概念 解释P( |ξ| ≤1.96)=0.9 《辞海》:在社会和自然界中,相同条件下可能发生也可能不发生,但在大量重复试验中出现的频率几乎是确定的事件,称为随机事件。 * 案例一：正确使用概率概念实证性定义： 定义1(概率与随机事件) 概率是事件发生可能性大小的度量.设有一类试验E,试验的一个观测结果记为A,该结果是E的多种可能结果之一.在一次试验中,我们说结果A发生的概率存在且为p,记为P(A)=p,是指:假定E是可重复试验时,有下列极限存在: 其中N是重复试验的总次数,μA是N次试验中结果A出现的次数.“=C”表示“公认等于”.此时,试验E被称为一个随机试验,E的结果则可称为一个随机现象,而“本次试验的结果为A”也就成为一个随机事件. * 案例一：正确使用概率概念对定义1的几点说明: (一) (1)任何科学基本范畴都是定义在一些元概念基础之上的.在本定义中,一类试验、观测结果、可能性大小等都是不加定义的元概念.（对于元概念的理解也需要“共识”！） (2)这里的可重复试验是指假定两类相同条件能被满足. (3)“可能结果