Fudan概率论与数理统计精品课件gll10章节幻灯片.pptVIP

第五章 大数定律与中心极限定理 §1 切贝谢夫不等式 研究随机变量的离差与方差的关系。 称为切贝谢夫不等式 用切贝谢夫不等式估计： ＝7000 ＝2100 §2 大数定律 测量多次，结果的计算平均值未必等于a 测量次数很大时，算术平均值接近于a 这种现象为平均结果的稳定性 大量随机现象中的平均结果与每一个别随机 现象无关，几乎不再随机。 例2 测量一个长度a，一次测量，结果未必等于a =1 也称为切贝谢夫大数定律。 它有如下重要的推论。 大量重复试验中，事件发生的频率接近于概率。 若P(A)很小，则A发生的频率也很小 如P(A)=0.001,约在1000次试验中，A发生一次 在一次试验中认为A几乎不可能发生。 这称为小概率事件的实际不可能性原理。 实际应用中，对某一量a，在不变条件下重复测量 n次，得到观察值x1,…,xn §3 中心极限定理 钉板试验 研究在什么条件下，大量独立随机变量和的分布以 正态分布为极限，这一类定理称为中心极限定理。 一般地，若某项偶然因素对总和的影响是均匀的、 微小的，即没有一项起特别突出的作用，则这些大 量独立偶然因素总和的随机变量近似服从正态分布。 这就是如下的李雅普诺夫定理： 例1 一个螺丝钉重量是一个随机变量，期望值是1两， 标准差是0.1两。求一盒(100个)同型号螺丝钉的重量 超过10.2斤的概率。 =0.02275 例2 对敌人的防御地段进行100次轰炸，每次轰炸命 中目标的炸弹数目是一个随机变量，其期望值为2， 方差为1.69。求在100次轰炸中有180颗到220颗炸弹 命中目标的概率。 ＝0.87644 =0.008158 解法二： 正态分布的线性函数也是正态分布 ＝0.5 =0.008158 例4 某大型商场每天接待顾客10000人，设某位顾客 的消费额(元)服从[100,1000]上的均匀分布，且顾客 的消费额是独立的，试求该商场的销售额在平均销 售额上、下浮动不超过20000元的概率。 例5 计算机在进行加法时，每个加数取整数(四舍五入)， 设所有取整误差是相互独立的，且它们都在[-0.5，0.5] 上服从均匀分布。(1)若将1500个数相加，问误差总和 的绝对值超过15的概率是多少？(2)最少几个数相加在一起可使得误差总和的绝对值小于10的概率不超过90％？ =0.18024 (2)设有n个数相加 二项分布可以看成多个0-1分布之和 当n增加时，它以正态分布为极限。 例6 10部机器独立工作，每部停机的概率为0.2，求3 部机器同时停机的概率。 (1)直接计算 相差较大，这是因为n较小。 例7 每颗炮弹命中飞机的概率为0.01，求500发炮弹 中命中5发的概率。 n=500 p=0.01 (1)直接计算 ＝0.17635 (2)用局部极限定理 ＝0.1793 (3)由于n很大，p很小，也可用Poisson分布计算 P5(5)=0.175467 比用正态分布更精确 正态分布与Poisson分布都是二项分布的极限分布。 用Poisson分布近似计算比用正态分布精确 实际应用更多的是积分极限定理 n=10000 p=0.005 =0.9977 例8 产品为废品的概率为p=0.005,求10000件产品中 废品数不大于70的概率。 例9 已知一次试验中P(A)=0.75,分别用切贝谢夫不等 式与中心极限定理计算。 (1)在1000次试验中，A发生的次数在700-800之间的 概率。 (2)n取多大时，才能使n次重复独立试验中A出现的频 率在0.74～0.76间的概率至少为0.9？ n=1000 p=0.75 用切贝谢夫不等式计算 =0.925 用正态分布计算 用切贝谢夫不等式 用正态分布 例10 某单位有200台电话分机，每台大约有5％时间 使用外线。若各分机是否使用外线是相互独立的， 问总机至少要装多少条外线才能使打外线的接通率 达到90％？ 设要装k条外线。 至少要装14条外线