焦半径公式的三角形式及其应用.docVIP

焦半径公式的三角形式及其应用 重庆清华中学 张 忠 焦半径是圆锥曲线中很重要的几何量，与它相关的问题是各类考试的热点，常考常新，故值得我们进一步总结与研究。是曲线的左、右焦点，点在曲线上，记、为左、右焦半径。则在椭圆中：；在双曲线中：；在抛物线中：。 若焦点在轴上时，则把相应的改为即可。因应用情形比较常见，不再叙述。，本文介绍它的三角形式及其应用。 定理1：若椭圆的离心角为θ，则　(1)|PF1|＝a＋ccosθ；　　(2)|PF2|＝a－ccosθ．证明：∵　椭圆的离心角为θ，由椭圆参数方程知点P的横坐标为acosθ，依焦半径的代数形式知：|PF1|＝a＋exp＝a＋ea·cosθ＝a＋c·cosθ,|PF2|＝a－exp＝a－c·cosθ． 例1. F1、F2是椭圆＋y2＝1的左右焦点，点P在椭圆上运动，则|PF1|·|PF2|的最大值　　　　是______， 最小值是_________． (1996年第七届“希望杯”赛)解：设椭圆的离心角为θ，又知a＝2，c2＝3，由定理1得　　　　　　|PF1|c·|PF2|＝a2－c2cos2θ＝4－3cos2θ　　　　　　∵　0≤cos2θ≤1　故知　|PF1|c·|PF2|max＝4－3·0＝4　　　　　　|PF1|·|PF2|min＝4－3·1＝1例2.　椭圆的左右焦点为F1、F2，试问此椭圆的离心率e在什么值范围内，椭圆上恒存在点　　　P，使得PF1⊥PF2。解：设椭圆方程为b2x2＋a2y2＝a2b2(a＞b＞0)，离心角为θ，依题设、定理1及勾股定理得　　　　　 (2c)2＝(a－ccosθ)2＋(a＋ccosθ)2　　　化简得cos2θ＝．　　　　　∵　0≤cos2θ≤1，∴0≤2－≤1，结合0＜e＜1得≤e＜1为所求。定理2：，这里为轴到直线的角，为焦准距，在椭圆和双曲线中，因，。准线在焦点左侧时，，在椭圆和双曲线中，。准线在焦点上方或下方时，只需将视为轴到直线的角即可。 证明：在圆锥曲线上，F是焦点，是准线所在直线，轴到直线的角为，过点作，过点作，则： ，，可得 ，这里为焦准距，在椭圆和双曲线中，。 具体化到椭圆和双曲线中，有公式，抛物线中，有公式； 对于情形2，如下图，准线在焦点左侧，同理可得： ，这里为焦准距，在椭圆和双曲线中，。 具体化到椭圆和双曲线中，有公式，抛物线中，有公式； 对于情节形3、4，如下两图，只需将上两种情形中的的几何意义改为轴到直线的角即可。 下面看角焦半径公式在高考中的应用： 例3．(07、重庆)过双曲线C：的右焦点作倾斜角为的直线，与双曲线C交于A、B两点，则||·||＝___________； 解：由题设有：，， ||＝，||＝ ||·||＝＝． 例4．（07.重庆理22）如图，中心在原点O的椭圆的右焦点为F（3，0），右准线l的方程为：x = 12。 （1）求椭圆的方程； （2）在椭圆上任取三个不同点，使，证明 为定值，并求此定值。 解：（I）设椭圆方程为．因焦点为，故半焦距． 又右准线的方程为，从而由已知， 因此，．故所求椭圆方程为． （II）记椭圆的右顶点为，并设（1，2，3），不失一般性， 假设，且，． 又设点在上的射影为，因椭圆的离心率，从而有 ． 解得 ． 因此， 而， 故为定值． 例5. （07.重庆文21）如右图，倾斜角为a的直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A、B两点。 （Ⅰ）求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程； （Ⅱ）若a为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明|FP|-|FP|cos2a为定值，并求此定值。 解：（Ⅰ）设抛物线的标准方程为，则，从而 因此焦点的坐标为（2，0）. 又准线方程的一般式为。 从而所求准线l的方程为。 （Ⅱ）解法一：如图（21）图作AC⊥l，BD⊥l，垂足为C、D，则由抛物线的定义知 |FA|=|FC|,|FB|=|BD|. 记A、B的横坐标分别为xxxz，则 |FA|＝|AC|＝解得， 类似地有，解得。 记直线m与AB的交点为E，则 所以。 故。 解法二：设，，直线AB的斜率为，则直线方程为。 将此式代入,得，故。 记直线m与AB的交点为，则 ， ， 故直线m的方程为. 令y=0,得P的横坐标故 。 从而为定值。 例6．（08、安徽）设椭圆C：(a＞b＞0)其相应于焦点F(2，0)的准线方程为．(1)求椭圆的方程；（2）已知过点(－2，0)倾斜角为的直线交椭圆C于A、B两点，求证：|AB|＝；(3)过点(－2，0)作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于点A、B和D、E ，求|AB|＋|DE|的最小值．