线代第2章研究报告.pptVIP

重庆大学数学与统计学院 2013 刘德强 第二章 矩 阵 1.矩阵的定义 称为m行n列矩阵，简称为m?n矩阵。这m?n个数称为矩阵A的元素，aij叫做矩阵A的第i行第j列元素。元素是实数的矩阵叫做实矩阵，元素是复数的矩阵叫做复矩阵。 定义2.1.1 由m?n个数aij ，排成m行n列的数表： 注 除特别说明外，都指实矩阵。 通常用大写的字母A、B、C等表示矩阵。 为了指明矩阵的第i行第j列元素为aij，可将A记 作A= (aij)或A=(aij)m?n ，也可将m?n矩阵A记为 Am?n。 当A的行数与列数相等时，称A为n阶方阵 或n阶矩阵。 n阶矩阵左上角到右下角称为（主）对角线；右上角到左下角称为反（次）对角线 一阶矩阵就是一个数。 只有一行的矩阵A=（a1,a2,???,an）叫做行矩阵； 只有一列的矩阵叫做列矩阵。 两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称它们 为同型矩阵。 如果A=(aij)与B=(bij)是同型矩阵，并且它们的对应 元素相等，即 aij=bij （i=1,2,???,m；j=1,2,???,n）， 那么就称矩阵A与矩阵B相等，记作 A=B。 元素都是零的矩阵叫零矩阵，记作0。 不同型的零矩阵是不同的，即0≠0有可能正确。 1. 矩阵的加法 设有两个m?n的矩阵A=(aij)，B＝(bij)，则矩阵A和B 的和定义为： 第二节 矩阵的基本运算 记作C=A+B 与行列式的分拆性质区分开 同型矩阵才能相加 数?与矩阵A的乘积定义为： 2 数与矩阵相乘——数乘法 记作C=?A或A? ?与行列式D相乘?D区分开 1) A+B=B+A； 2) (A+B)+ C=A +(B+C); 设矩阵A=(aij)，记： ?A=(?aij)，?A称为A的负矩阵。 3) A +(?A)= 0; 4) A+0=A. 矩阵加法的运算规律 矩阵减法：A-B=A+(-B) 设矩阵A=(aij)m? s ，B=(bij)s? n，则矩阵A和矩阵B的乘积矩阵C=(cij)m?n，其中 cij=ai1b1j+ai2b2j+???+aisbsj (i=1,2,??? ,m；j=1,2,??? ,n), 记作C=AB。 3 矩阵乘法 cij=A的第i行元素与B的第j列元素对应乘积之和 A的列数=B的行数 C的行数= A的行数 C的列数=B的列数 例１ 由定义可以验证矩阵的乘法满足以下运算规律：（假设运算都是可行的） (i)???? 结合律： (AB)C=A(BC)； (ii)??? 左分配律：A(B+C)= AB + AC； (iii)?? 右分配律： (B+C)A = BA + CA； (iv)? 数乘：?(AB)=(?A)B = A(?B)。(?为常数) 矩阵乘法不满足乘法交换律。 将AB称为用A左乘B，而将BA称为A右乘以B。 例3 求AB和BA。其中 解： 例4 求AB和BA。其中 解： 矩阵乘法无消去律 若AB=BA，称A与B可交换。 a) 单位矩阵 称： 为单位阵。 对于单位矩阵E,容易验证： EmAm?n = Am?n ， Am?nEn = Am?n 。 特殊矩阵 EmAm?m = Am?m Em。 b) 数量矩阵 对于数量矩阵aE,容易验证： a EmAm?n = aAm?n ， Am?naEn = aAm?n 。 a EmAm?m = a Am?m Em。  c) 对角矩阵：如下的矩阵称为对角矩阵，记为 diag(a11,a22,…,ann），即为： 显然： 则： 上三角矩阵： d) 三角矩阵 下三角矩阵： 反上三角矩阵： e) 反三角矩阵 反下三角矩阵： 反对角矩阵 有了矩阵的乘法及其结合律，就可以定义n阶方阵的幂。 设A是n阶方阵，定义： A1 = A，A2 = A A，??? ，Ak = AA…A ， 其中k为正整数。这就是说，Ak就是k个A相乘。 显然，只有方阵的幂才有意义。 由于矩阵乘法适合结合律，所以方阵的幂满足以 下运算规律： A?A? = A?+? ，(A?)? = A?? 不过，一般 (AB)k ? AkBk。 规定：任意矩阵A，A0＝E。 方阵的幂 重庆大学数学与统计学院 2013 刘德强