圆的切线的两种证明方法.docVIP

圆的切线的证明方 平面内直线和圆存在着三种位置关系，即直线和圆相离、直线和圆相切、直线和圆相交，这三种位置关系中最重要的是直线和圆相切。那么怎样证明直线和圆相切呢？证明直线是圆的切线大体上有三种方法： 　　⑴和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； 　　⑵到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线； 　　⑶经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 　　其中⑴是切线的定义，它是从直线与圆的交点的角度来判断直线和圆的位置关系；⑵是从圆心到直线的距离d与圆的半径r的数量关系的角度来判断；⑶是根据切线的判定定理进行判断。⑵和⑶都是由⑴推演出来的。 　　在几何证明中，常用的是最后一种方法，具体的证法有两种：①当直线与圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连结起来，证明直线垂直于这条半径，简称为“连半径，证垂直”；②当直线和圆的公共点没有明确时，可过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称为“作垂直，证半径”。 　　例1.如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，求证CD是⊙O的切线。 　　［分析］：因直线CD与⊙O有公共点D，故应采用“连半径，证垂直”的方法。 　　［证明］：连结OD 　　∵OC∥AD ∴∠COB=∠DAO， ∠COD=∠ADO 　　∵OA=OD ∴∠DAO=∠ADO 　　∴∠COB=∠COD 　　在△DOC和△BOC中 　　∵OD=OB，∠COD=∠COB 　　OC=OC 　　∴△DOC≌△BOC 　　∴∠CDO=∠CBO 　　∵AB是⊙O的直径，BC是切线 　　∴∠CBO=90° 　　∴∠CDO=90° 　　∵OD是⊙O的半径 　　∴CD是⊙O的切线 　　例2.如图，已知两个同心圆O中，大圆的弦AB、CD相等，且AB与小圆相切于点E，求证：CD是小圆的切线。 　　［分析］：因直线CD与⊙O无公共点，故应采用“作垂直，证半径”的方法。 　　［证明］：连结OE，过O点作OF⊥CD于F 　　∵AB与小圆相切于点E 　　∴OE⊥AB ∴AE=BE，CF=DF 　　∵AB=CD ∴AE=CF 　　在Rt△AEO和Rt△CFO中 　　∵OA=OC，AE=CF 　　∴Rt△AEO≌Rt△CFO 　　∴OE=OF 　　∴CD是小圆的切线 　　例3.如图，已知在△ABC中，CD是AB上的高，且CD=AB，E、F分别是AC、BC的中点，求证：以EF为直径的⊙O 与AB 相切。 　　 　　 　　 　　　［分析］：因直线AB与⊙O无公共点，故应采用“作垂直，证半径”的方法。 　　［证明］：过O点作OH⊥AB于H 　　∵E、F分别为AC、BC的中点 　　∴EF∥AB，且EF=AB 　　∴G点为CD的中点，OH=GD=CD 　　∵CD=AB ∴EF=CD 　　∴OH=EF 　　∴AB为⊙O的切线 　 　例4.如图，已知AB是⊙O 的直径，线段AF与⊙O相切于点A，D是AF的中点，BF交⊙O于E点，过B点的切线与DE的延长线交于C点，求证：CD与⊙O相切。 　　［分析］：因直线CD与⊙O有公共点E，故应采用“连半径，证垂直”的方法。 　　［证法一］：如图4-1，连结OE、AE 　　∵AB是⊙O的直径 　　∴AE⊥BF 　　∵D是AF的中点 　　∴DA=DF=DE 　　∴∠DEA=∠DAE 　　∵OA=OE ∴∠OAE=∠OEA 　　∵AB是⊙O的直径，AF是⊙O的切线 　　∴∠DAE+∠OAE=90° 　　∴∠DEA+∠OEA=90° 　　∵OE是⊙O的半径 　　∴CD与⊙O 相切于E 　　［证法二］：如图4-2，连结OE、AE、OD 　　∵AB是⊙O的直径 　　∴AE⊥BF 　　∵D是AF的中点 　　∴DA=DE=AF 　　在△OED和△OAD中 　　∵DE=DA，OD=OD，OE=OA 　　∴在△OED≌△OAD 　　∴∠OED=∠OAD 　　∵AB是⊙O的直径，AF是⊙O的切线 ∴∠OAD=90° 　　∴∠OED=90° 　　∵OE是⊙O的半径 　　∴CD与⊙O相切于E 　　［点评］：证法一是利用了等式的性质证明∠OED=∠OAD=90°, 证法二是利用了全等三角形的对应角相等证明∠OED=∠OAD=90° 　　例5.如图，已知直角梯形ABCD中∠A=∠B=90°，AD∥BC，E为AB上一点，ED平分∠ADC，CE平分∠BCD，试问⑴以AB为直径的圆与边CD有怎样的位置关系？并证明。⑵以CD为直径的圆与AB又有怎样的位置关系？并证明。 　　［分析］： 　　⑴取AB的中点E，过E点作EF⊥CD于F，如果EF=AE，那么以AB为直径的圆与边CD相切，这就是“作垂直，证半径”。 　　⑵的证明方法是在⑴得到AE=BE的基础上,作梯形的中位线EG，即要证明EG为圆的半径又要证明EG⊥AB。 　　［证明］