数学建模停车场问题.docVIP

87-B 停车场问题 在新英格兰地区一个镇上位于街角处的一个停车场的场主雇你来设计该停车场的安排，即设计“在地上的线应怎样划法”。 你一定认识到要把尽可能多的车塞进停车场会导致以直角停靠的方式一辆挨一辆地排成行。但是缺乏经验的司机对于这种停靠方式是有困难的，这可能引起昂贵的保险费要求。为了减少停靠车辆时可能造成的损坏，场主就要雇用一些熟练的汽车司机作为“专职停靠司机”。另一方面，如果汽车从通道进来有一个足够大的转弯半径的话，那么大多数司机看来都不会有很大的困难一次就停靠到该停靠的位置上去。当然通道愈宽能容纳的车辆就愈少，这就会导致停车场场主收入的减少。 新英格兰停车场问题解决方案 文森特·波利特克利克大学数学系 美国纽约12180信箱 摘要：给一块面积为100×200平方英尺的长方形场地，要在这块场地上确定一个停车位子的排列方式，使其停车量最大。停车场有自己停车和服务停车两种方式。这里选择自己停车，但需要一位管理员来收停车费。为了在停车场内安排最大数量的停车位，检验了从45°到90°的停车角度（汽车与边界的夹角）停车场内道路的宽度取决于，即汽车在停车场内转弯越大，所占的空间也越大。经过分析停车场安排停车位的方案数为7。最初的分析，没有考虑进口、出口以及管理员的位子。此时停车场最多能容纳76个车位。考虑设立进口和岗亭，车位为75个（较其它方法车位多）。在我们最后的解答中，还给出了扫雪和临时堆雪的地方及立路灯柱的位置。 问题的重述： 在新英格兰城市一角有面积为100×200平方英尺的停车场，设计与停车方案，使停车位最大且尽可能减少在停车场内行车的困难。 一般假设： 1．卡车自己停，雇用一个有经验的停车司机费用太贵，补偿不了增加停车位带来的收益。 2．停车场内是单行道，以便减小场内车道的宽度和整个道路的面积，这样可获得最大的停车面积。 3．停车场进出口的安排取决于停车场在街角的位置。 4．每个车位必须有到进出的方便通道，不能“先进后出”。 5．在停车场内安排一个管理员。管理员能对每个车位上的汽车进行调度或者进行直接收费。无论哪种情况为管理员设置一岗亭是必要的。 6．在直接收费的情况下，岗亭必须设在进出口之间。如果售票机设在进口，则岗亭设在出口左侧。 7．在分析停车位的最大值时，因为进口、出口以及岗停的位置最多占1个车位，暂不考虑它们的影响。 8．因为停车场在新英格兰，因此必须考虑冰雪的清扫和临时堆雪问题。 9．司机自己停车车位宽度为8英尺（包括4英寸的划线）停车位的长度17英尺。 10．汽车平均最小外转半径为21英尺（左手转弯时，车辆前右保险杆的路径），转90°进入停车位要求路宽21英尺。 11．停车场的最窄道路宽路约为12英尺，以保证场内行车安全。 12．增加停车场内弯道会减少，场内停车位。 13．沿着同一条车道的所有车位，具有相同的角度，以便保证道路的空间和最大的停车面积。 14．下雪将影响所有停车位，设计时不予考虑。 分析与模型设计 暂不考虑进出口及岗亭位置，以求得最大停车位数。 首先考虑停车位的角度：转弯半径21英尺，以任意的角度开进车位所需的范围（空间）就可以确定，停车场内车道宽度依赖于停车位的角度。转弯90°进入停车位（即车位与车道正交）比转弯45°进入停车位需作用的空间更大（此时要求车道更宽些）。 90°的停车位密度最大，但需要最大的车道宽度，因此有必要考虑45°到90°之间的其他停车角度。 汽车的外侧随着半径21英尺的圆周行驶，行进到任意角度后，汽车以°角度直线开进停车位，车道的宽度的计算公式为（图2）。 车位的宽度和长度和也与角有关，计算公式如图3。 图2 图3 基本的有两种方法安排停车位，一种平行于停车场200英尺的边，一种平行于100英尺的边。其它的安排，例如椭圆和对角交叉排列都因浪费地盘而不切合实际。 在我们的分析中，另一个有用的公式是“死长”（在一排车位末尾剩余的不足以容纳一辆车的位置），计算公式（见图3） 这些公式对在停车场内确定停车位数目有用，同时应注意一条车道的两旁可以安排两排停车位。 通过检验不同的停车方案，我们去除那些转弯太多不好的方案（见假设12），剩下7种方案，它们大多数的车道与停车场的长边平行。 第一种选择，如方案1所示，有三排与车场的长边平行，其中有两排沿着边沿，另一排在车场的中间、两排与车场的短边平行（如图4）我们安排三排90°的停车密度最大。方案2与方案1的相似点在于也有三排90°的停车线。但沿着短边一边没有停车线（如图5），方案3和方案2及方案1相同，也有三排长的90°的停车线但沿着短边没有（如图6）方案4与方案1相同，少了中间有两排停车线，两个长边的停车角度不是9