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[数学悖论论文]有趣的数学悖论 篇一 : 有趣的数学悖论 有趣的数学悖论 姓名：李建杰 学号：03A13432 院系：能源与环境学院 班级：大一四班 指导老师：张福保 日期：2013/11/24 摘要：悖论，指在逻辑上可以推导出互相矛盾之结论，但表面上又能自圆其说的命题或理论体系。这是个哲学意义上的词汇，那么深奥晦涩。可说起数学悖论，那就简单有趣的多了。从古希腊时代的说谎者悖论、阿基里斯悖论，再到古代中国的庄子悖论，最后到现代数学的伽利略悖论、双生子佯谬等等，都是能够引人思考的趣味命题，它们的发展体现了一代代数学家们执着的精神与对数学孜孜不倦的渴望，正因为数学悖论引导着他们，才有了悠久的数学文化历史与意韵，才有了现在如此夯实的数学摩天大楼。 关键词：数学悖论 数学危机 芝诺 惠施 庄子 伽利略 贝克莱 康德 一、 悖论与数学悖论 悖论：由一个被承认是真的命题为前提，设为B，进行正确的逻辑推理后，得出一个与前提互为矛盾命题的结论非B；反之，以非B为前提，亦可推得B。那么命题B就是一个悖论。 数学悖论：是指数学领域中有数学规范中发生的无法解决的认识矛盾，这种认识矛盾可以在新的数学规范中得到解决。数学中有许多著名的悖论，伽利略悖论、贝克莱悖论外，还有康托尔最大基数悖论、布拉里——福蒂最大序数悖论、理查德悖论、基础集合悖论、希帕索斯悖论等。数学史上的危机，指数学发展中危及整个理论体系的逻辑基础的根本矛盾。这种根本性矛盾能够暴露一定发展阶段上数学体系逻辑基础的局限性，促使人们克服这种局限性，从而促使数学的大发展。数学史上的三次危机都是由数学悖论引起的 二、 数学悖论引发的三次数学危机 第一次数学危机 毕达哥拉斯学派主张“数”是万物的本原、始基，而宇宙中一切现象都可归结为整数或整数之比，人们仅认识到自然数和有理数，有理数理论成为占统治地位的数学规范。公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的成员希帕索斯发现：等腰直角三角形斜边与一直角边是不可公度的，它们的比不能归结为整数或整数之比。这一发现不仅严重触犯了毕达哥拉斯学派的信条，同时也冲击了当时希腊人的普遍见解，因此在当时它就直接导致了认识上的“危机”。希帕索斯的这一发现，史称“希帕索斯悖论”，从而触发了数学史上的第一次危机。因而推动了亚里士多德的逻辑体系和欧几里德几何体系的建立。 第二次数学危机 牛顿在1671年写的《流数术和无穷级数》提出的中心问题是：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度；已知运动的速度求给定时间内经过的路程。1686年，德国的莱布尼茨创设了微积分符号，远远优于牛顿的符号，并推动微分学的发展。英国大主教贝克莱在1734年发表了《分析学者，或致一个不信教的数学家。其中审查现代分析的对象、原则与推断是否比之宗教的神秘与教条，构思更为清楚，或推理更为明显》一书, 说牛顿先认为无穷小量不是零，然后又让它等于零，这违背了背反律，并且所得到的流数实际上是0/0, 是“依靠双重错误你得到了虽然不科学却是正确的结果”, 因为错误互相抵偿的缘故, 称之为“贝克莱悖论, 导致了数学史上的第二次危机。[) 第三次数学危机 经过两次数学危机，人们把数学基础理论的无矛盾性，归结为集合论的无矛盾性，集合论成为整个现代数学的逻辑基础。但随后英国著名数理逻辑学家和哲学家罗素宣布了一条惊人的消息：集合论是自相矛盾的，并不存在什么绝对的严密性！史称“罗素悖论”。1918年，罗素把这个悖论通俗化，称为理发师悖论。这在数学和逻辑学界引起了一场轩然大波，形成了数学史上的第三次危机。 小结：历史上三次数学危机的爆发，都是由数学悖论而产生的，可见数学悖论在数学史上的发展与数学文化的建设方面都有着无可替代的作用，正是由于一个个无法解释的数学悖论的产生，引发了一大批数学家与哲学家的思考与奋斗，推动了数学的发展。 三、 古希腊数学悖论 1. 说谎者悖论 古希腊时代克利特哲学家埃庇米尼得斯曾说了一句很有名的话：“所有克利特人都说谎。”为什么说这句简单的话有名呢，是因为无法解释这句话，更确切地说无法判断这句话的真假。假设伊壁门尼德斯讲的是真话，那么他的确在撒谎，这与假设不符；假设他说的是假话，那么他没有说谎，即他讲的是真话，又与假设不符。所以这句话是没有解释的。这是不是很有趣呢？ 2. 芝诺悖论 埃利亚学派的代表人物芝诺提出的有关运动的四个悖论二分法悖论、阿基里斯追龟悖论、飞矢不动悖论与运动场悖论尤为著名。 二分法悖论是说运动是不可能的，因为物体在到达终点之前必须先到达路程的二分之一，而在到达二分之一之前必须到达路程的四分之一，无穷无尽，甚至运动永远无法开始。 阿