1.2数列的极限一研究报告.pptVIP

几何解释: 定理5 在实数系中，有界且单调数列必有极限。 (单调有界准则) 几点说明： 通常该准则变通为： 1） 单调递增有上界的数列存在极限。 2） 单调递减有下界的数列存在极限。 本定理只是证明了存在性。 本定理只对一类特殊的数列可以判别存在性。 例 设其中 ，证明 收敛。  证明： 递增显然，下面证明有上界，事实上： 证明：先建立一个不等式，设 对任一正整数 ，有 整理后得不等式： 例4 证明 存在。 联系到该数列的单调性，可知对一切正整数 ，都有 ,即 有上界。 单调递增上界，即收敛。 于是 上式对一切正整数 都成立，即对一切偶数 ，有 。 例　证明数列 收敛，并求其极限. 证明：记 , 则 先证 有界: 则 故 从而 故 单调有界，因而收敛。 令 1.2.4 数列极限的四则运算法则 数列极限的定义揭示了极限的本质，但利用 极限的定义来计算极限是非常困难的。计算极限 的最常见的方法还是利用极限的运算法则。 如果 an=a ， bn=b 那么 （an bn）= a b （an bn）= a b = 特别地： （c an (c为常数) 注 意：如果是商的运算,则要求 bn=b 2、参与运算的数列的个数必须是有限的 法则的前提： 1、参与运算的数列必须有极限 定理6： 注意： 例如， 所谓子数列是指：数列中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列{xn}中的先后次序，这样得到的一个数列称为原数列{xn}的子数列（或子列）. 在子数列 中，一般项 是第 项，而 在原数列 中却是第 项，显然， 1.2.5 数列的子列概念 定理7(收敛数列与子数列间的关系）如果数列{xn}收敛于a，那末它任一子数列也收敛,且极限也是a. 证毕． 证 设数列 是数列 的任一子数列. 使 时, 恒有 . 取 则当 时, 故数列 发散. 证：因为当 时, 证明数列 是发散的. 注：此定理为确定一个数列的极限不存在提供了一个简 单的方法，一般我们采用下面两种方式来说明一个 数列的极限不存在： 有一个子数列 发散，则 必发散； (2)若 有两个子数列分别趋于不同的极限，则数列 发散. (1) 若 1、数列极限的四则运算法则 =0， =0 c=c (c为常数) 3、选择变形方法要观察： 通项公式的结构 2、几个基本数列的极限： 小结： 几个基本数列的极限： 观察 归纳 c=c (c为常数) （k是常数 是正整数） 法则应用，掌握规律 例：求下列极限 高等数学 主讲：谭宏 1.2 数列的极限 极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产 生的，它是微积分学中最基本的概念，极限方法是解 决近似与精确这对矛盾的基本方法，由它可引出微积 分学的其它基本概念，由极限的运算法则又可以推导 出微分法与积分法，所以掌握极限概念及其运算法则 就显得十分重要了. “极”、“限”二字，古以有之．引申到生活中， 把不可逾越的数值称为极限。但在数学中，“极限” 却有更深刻的含义。 1.2.1 数列极限的概念 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” 1、割圆术 —— 刘徽 正六边形的面积 正十二边形的面积 形的面积 ...... ...... （圆的面积） 正 战国时代哲学家庄周著的《庄子·天下篇》引用过一句话: 一尺之棰 日取其半 万世不竭. 2、截丈问题 “一尺之棰，日截其半，万世不竭” ...... ...... …… 0 “孤帆远影碧空尽”一句，让大家体会一个变量趋 向于0的动态意境，更有诗情画意．如果说，“一尺之 棰”的例子是离散的无穷小量，那么 “孤帆”的例子则 是连续的无穷小量． 著名诗人李白的《送孟浩然之广陵》： 故人西辞黄鹤楼， 烟花三月下扬州． 孤帆远影碧空尽， 唯见长江