§1. 数列的极限 §1.函数的极限培训材料.pptVIP

定义 设当 x ?0 且无限增大时函数 f (x) 有定义，如果对任意给定的正数 ? ，总存在正数 X，使得对于满足不等式 x ? X 的一切x，总有 | f (x) ?A|? ? 则称常数 A 为函数 f (x) 当 x ? ? ? 时的极限，记作 如果函数 f (x) 不趋于一个常数 A ，则称当 x 趋于正无穷时，f (x) 的极限不存在。 1、当 x ? ?? 时，函数 f (x) 的极限 定义 如果当 x ? 0且绝对值无限增大时，函数 f (x) 趋于一个常数 A，则称当 x ? ? ? 时，函数 f (x) 以 A 为极限，记作 定义 如果当 x 的绝对值无限增大时，函数 f (x) 趋于一个常数 A，则称当 x ? ? 时，函数 f (x) 以 A 为极限，记作 ： 2、当 x ? ? ? 时，函数 f (x) 的极限 3、当 x ? ? 时，函数 f (x) 的极限 例1 函数 当 时， 有 则有 例 2 函数 当 时， 有 则有 定理（重点） 小 结 * * 第二节 数列的极限 内容提要 1．数列极限的定义； 2．收敛数列的性质。 教学要求 1．理解数列的概念； 2．了解数列极限的的定义，在学习过程中要逐步加深对极限思想的理解； 3．理解收敛数列的有界性，极限的唯一性等性质。 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” 1、割圆术： 播放 ——刘徽 一、极限概念的引入(了解) 正六边形的面积 正十二边形的面积 正 形的面积 2、截丈问题： “一尺之棰，日截其半，万世不竭” ; 2 1 2 1 2 1 2 n n X n + + + = L 天截下的杖长总和为 第 ; 2 1 2 1 2 2 + = X 为 第二天截下的杖长总和 ; 2 1 1 = X 第一天截下的杖长为 按一定规则排列的无穷多个数 二、数列的定义 例如 称作数列，简记作 {xn} ，其中 x1 叫做数列的第一项， x2叫做数列的第二项，???， xn叫做数列的第n项，又称通项或一般项。 简记作 简记作 数列 数列 注意： 1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取 2.数列可以看成函数： 例 1 数列 我们考察 这个数列的通项为 当n无限增大时， 的变化趋势。 三、数列的极限 例2 通过实验观察 无限地趋近于常数 0 定义 对于数列{xn}，如果当n无限变大时， xn 趋于一个固定常数 A ，则称当 n 趋于无穷大时，数列 {xn} 以 A 为极限，记作 称数列{xn}收敛于A ； 如果数列{xn}没有极限(趋势不定或者趋于无穷大)， 就称{xn} 是发散的。 例如 数列{ }以 0 为极限，记作 或 趋势不定 收 敛 发 散 例 数列 所以该数列无极限。 数列的通项为 xn? (– 1)n+1 ， 当 n 无限增大时， xn 总在 1 和 –1 两个数值上跳跃， 永远不趋于一个固定的数。 问: 思考：如何用数学语言定量的刻划它? （1）0.9, 0.99,0.999, …， 0.99…9，… （2）0.8, 0.88,0.888, …， 0.88…8，… 如何来刻画“当n 无限变大 时，Xn 趋于一个固定常数 A”？ 要点： Xn 趋于一个常数 A : ?? ? 0，有| Xn ?A|? ? 例2 , 100 1 给定 , 100 1 1 n 由 , 100 时 只要 n , 100 1 1 - n x 有 , 1000 1 给定 , 1000 时 只要 n , 1000 1 1 - n x 有 , 10000 1 给定 , 10000 时 只要 n , 10000 1 1 - n x 有 , 0 e 给定 , ]) 1 [ ( 时 只要 e = N n . 1 成立 有 e - n x 定义: 若数列 及常数 a 有下列关系 : 当 n N 时, 总有 记作 此时也称数列收敛 ,否则称数列发散 . 几何解释 : 即 或 则称该数列 的极限为 a , , N 正数 $ 定义 对于数列{xn}，如果当n无限变大时， xn 趋于一个固定常数 A ，则称当 n 趋于无穷大时，数列 {xn} 以 A 为极限，记作 称数列{xn}收敛于A ； 如果数列{xn}没有极限(趋势不定或者趋于无穷大)， 就称{xn} 是发散的。 或 例1 证 所以, 说明:常数列的极限等于同一常数. 小结: 用定义证数列极限存在时,关键是任意给定 寻找N,但不必要求最小的N. . lim ), ( C x C C x n n n =