矩阵理论-第二讲幻灯片.pptVIP

方阵的对角化（Continue） 由 线性无关。“一组向量线性无关，则其一部分也线性无关” 也线性无关。 “线性无关向量的最大个数不超过其所在空间的维数” 又由“特征值的几何重数不超过它的代数重数” 综合上两式 推论1：若 有n个互异的特征值，则A可对角化 推论2：若 的特征值都是单重的，则A可对角化 方阵的对角化（Continue） 例： 下列矩阵能否对角化？对可对角化的矩阵，求其相似变换矩阵和相应的对角阵 方阵的对角化（Continue） 方阵的对角化（Continue） 方阵的对角化（Continue） 此矩阵不能对角化！ 方阵的对角化（Continue） 对角阵的应用： 乘积、幂、求逆和求特征值都比较简洁 求幂： ，求 方阵的对角化（Continue） 求解线性微分方程组： 写成矩阵形式： 令 方阵的对角化（Continue） 那么 Jordan标准形 方阵化为对角形是有条件的 退一步，如果一个方阵不能被化为对角形，能否降低要求，化为一个分块对角形？在实数域内，此问题的答案是肯定的，分块对角形就是所谓的Jordan标准形。 定义 Jordan块 称形如 的矩阵为 阶Jordan块 Jordan标准形（Continue） Jordan矩阵 由若干个Jordan块构成的分块对角矩阵 为Jordan矩阵 Jordan块与对角形的差别仅在其上对角线：1：Jordan; 0：Diagonal 有的教科书上定义下对角线全为1的、其余元素为0的下三角阵为Jordan块，它们之间是转置关系 Jordan块本身就是一个分块数为1的Jordan矩阵 对角阵是一个特殊的Jordan矩阵：其每个Jordan块都是1阶的 Jordan标准形（Continue） 注意：Jordan矩阵上对角线并不全是1 Jordan标准形（Continue） 方阵A与Jordan矩阵相似的基本定理 设 ，则A与一个Jordan矩阵J相似。即 ，使得 对此Jordan矩阵J，除其Jordan块的排列次序外，由A唯一确定，称J为A的Jordan标准形 注意： A的Jordan标准形的主对角线元素就是A的特征值 在Jordan标准形中，不同Jordan块的主对角线元素可能相同，因此，不能通过Jordan块的阶数，判断此Jordan块对应的特征值的代数重数。 * * * * 矩阵理论-第二讲 兰州大学信息科学与工程学院 2004年 回顾与复习 矩阵理论的应用背景； 矩阵、数域、映射、直积集、代数运算、集合对运算封闭、矩阵运算、负矩阵、零矩阵、方阵、对角阵、单位阵、转置矩阵、分块矩阵、分块矩阵的相等、伴随矩阵（adjoint matrix, NOT adjacent matrix）、逆矩阵、逆的性质、矩阵的秩、秩的性质等 矩阵运算：矩阵加法、矩阵减法、数乘矩阵、矩阵乘法、方阵的幂 线性空间： 非空集 定义了加法，满足4条有关加法的规律（加法交换群） ； 定义了数乘，满足4条有关数乘的规律； 回顾与复习（Continue） 线性映射（线性算子、线性变换） 同一数域上的线性空间到线性空间的映射 线性泛函 线性空间到数域的映射 线性子空间 非空子集、加法与数乘的定义与原空间相同 子空间的维数不超过其全空间的维数 子空间的维数 = 生成元（列向量）构成的矩阵（向量组）的秩 回顾与复习（Continue） 单独一个就已经线性相关了，所以规定零子空间的维数为0，并且规定它的基为空集 X是线性子空间， ，集合 是子空间，当 时，是由x生成的一维子空间 Y X Z b a c 回顾与复习（Continue） Y X Z 不相关 回顾与复习（Continue） 线性方程组解的结构 齐次 非齐次 回顾与复习（Continue） 方阵的特征值与特征向量 特征矩阵 回顾与复习（Continue） 特征多项式 特征方程 特征值与特征向量（Continue） 特征值的代数重数 若 是 的k重特征值，则称λ的代数重数为k 特征值的几何重数