第3讲量子力学幻灯片.pptVIP

薛定谔方程向经典力学的过渡 量子力学向经典力学的过渡有多种途径，只介绍取平均值过渡方式 。 研究势场中薛定谔波函数的平均动量变化的规律。以x方向为例， 可以证明 第*页 这表明，微观粒子运动在期望值（平均值）的意义上是遵从牛顿第二定律的，量子效应只是围绕经典平均值的一种量子涨落。 坐标表象 vs 动量表象 坐标表象 动量表象？ 薛定谔方程？ 第*页 不含时间的薛定谔方程，定态 一般情况下，从ψ(r, 0)求ψ(r, t)是不容易的，需用近似方法。现考虑薛定谔方程的一个特例，V不显含时间（在经典力学中，在这种势场中运动的粒子，其机械能守恒），此时方程可用分离变量法求解。令， 代入薛定谔方程 第*页 将C归入ψE(r,)内，则有， （9） 这个波函数与时间的关系是正弦式的，其角频率是 按照德布罗意关系，E就是该体系处于这个波函数所描写状态时的能量。由此可见，当体系处于（9）式所描写状态时，能量具有确定值E，所以这种状态称为定态，这里与时间无关的波函数ψE(r,) ,它满足能量为E时的下列方程 （7） （8） 第*页 该方程为不含时间的薛定谔方程。 哈密顿算符、能量本征值方程 ψE(r) ×(7)， ×(8), 则波函数ψ(r, t)满足 这两个方程类型相同，它们都是以一个算符，作用在波函数Ψ上得出一个数E乘以Ψ。 第*页 这表明，算符 与 的作用是相当的，这两个算符都称为能量算符。 因为算符 是通过经典哈密顿函数H = T+ V代换而来的，所以这种算符又称哈密顿算符，以 表示。 第*页 小结一下 薛定谔方程的普遍形式为 （10） 当 不显含时间t时，（10）可分离变量，此时，不含时的薛定谔方程可以表示为 对于一个粒子在势场V(r) 中运动的特殊情况， 就可得到 对于更复杂的体系，其薛定谔方程的具体表达式，关键在于写出其哈密顿算符。 第*页 从数学上讲，对于任何E值，不含时的薛定谔方程都有解，但并非对于一切E值所得出的解ψE(r)都满足物理上的要求。这些要求有的是根据波函数的统计解释而提出的，有的是根据具体的物理情况而提出的，例如束缚态边界条件，周期性边界条件，散射态边界条件等。在有的条件下，特别是束缚态边界条件，只有某些E值所对应的解才是物理上可以接受的。 E值称为体系的能量本征值，而相应的解ψE(r)称为能量本征函数。（思考：对应不同能量本征值的本征态的叠加是否还是能量本征态？） 第*页 例 1.3 （课本，25页） 对于一维自由粒子， (a) 波函数为 ,试用Hamilton算符 对 运算，验证 说明动量本征态 也是Hamilton（能量）本征态，本征值为 。 (b)设粒子在初始（t=0）时刻， ,求 . 第*页 (c) 设波函数 可以看成无穷多个平面波的叠加，即无穷多个本征态 的叠加。 试问： 是否是能量本征态？ （d）设粒子在t=0时刻 ， 求 =? 提示：利用积分公式 第*页 定态的性质和含时薛定谔方程的一般解 定态性质： 讨论定态问题就是要求出体系可能有的定态波函数 及其本征能量E。这归结于求解定态薛定谔方程，求出能量的可能值E和波函数ψE(r)。 基本性质：当粒子处于定态时，一切可观测的物理性质都不随时间变化。 第*页 粒子在空间的概率密度 和概率流密度 不随时间变化。 任何（不显含t的）力学量平均值不随时间改变： 任何（不显含t的）力学量的测值几率分布也不随时间变化（详见后面有关章节的讨论）。 如果对于同一