电动力学数学全幻灯片.pptVIP

证： 证明： 同理 标量场的梯度必为无旋场 另解： P34：习题 3 设 0 （2）求： 其中 及 均为常矢量。 求 解： Assignments 阅读 教材 附录I（Essential） 习题：第33～35页习题1，2，3，4，5，6题（Essential） 预习：教材：第一章§1、§2（Essential） Class is over! 梯度运算的一些基本公式 既具有矢量性质，又具有微分性质 关于“三度”的一些常用公式 复合函数的三度公式 积分变换公式 高斯公式 斯托克斯公式 利用混合积公式 第一公式 第二公式 积分变换的一般规则 格林公式 一维 三维 函数与点电荷密度 1、球坐标 注意：三个单位向量是动坐标 2、柱坐标 球坐标与柱坐标 球坐标中的梯度运算： 球坐标中的散度运算： 球坐标中的旋度运算： 在球坐标中的三个分量： 直角坐标与球坐标之间的变换关系： 积分变换公式： 矢量与张量叉乘： 矢量与张量点乘： 现在我们必需考虑如下问题： （1）矢量场除有散和有旋特性外，是否存在 别的特性？ （2）是否存在不同于通量源和旋涡源的其它 矢量场的激励源？ （3）如何唯一的确定一个矢量场？ 矢量场的Helmholtz定理 空间区域V上的任意矢量场，如果它的散度、旋度和边界条件为已知，则该矢量场唯一并且可以表示为一无旋矢量场和一无散矢量场的叠加，即 其中 为无散场， 为无旋场。 1 矢量场的 Helmholtz 定理 Helmholtz 定理明确回答了上述三个问题。 即任一矢量场由两个部分构成，其中一部分是无散场，由旋涡源激发；并且满足： 另一部分是无旋场，由通量源激发，满足： 矢量场的分解 2.一般矢量的分解 任一矢量场由其旋度和散度唯一确定。旋度决定无源场，散度决定无旋场。任意矢量场可唯一分解为无旋场和无源场之和。 1. 两类场 无旋场： 无源场： 若将矢量 表示为 张量 可写为 爱因斯坦约定：定义角标重复出现就表示求和。 则有 上节内容回顾 矢量代数中的两个重要公式 混合积 双重矢量积 标量场的梯度公式 方向指向场量变化最快的方向。 梯度(Gradient) 由于从一点出发，有无穷多个方向，即标量场在一点处的方向导数有无穷多个，其中，若过该点沿某一确定方向取得 在该点的最大方向导数，则可引进梯度概念。记作 方向指向场量变化最快的方向 大小： 注意：梯度是一个矢量 方向导数与梯度的关系： 上节内容回顾 矢量代数中的两个重要公式 混合积 双重矢量积 标量场的梯度公式 方向指向场量变化最快的方向。 考虑正在使用中的橡皮擦，橡皮同时受到压力和扭力的作用，在其内部一点p附近任意取一面元dS,实验表明这时面元前方介质对后方介质的作用力df,并不一定与面元垂直，如图所示。改变面元的方向，面元两边介质的作用力同样不一定与面元垂直。要清晰的讨论面元前方介质对后方介质的作用力，就要引入应力张量。 直角坐标系中散度旋度和梯度的表达式 高斯定理 S V ?V, ?S ?V 有一闭曲面S，所包体积为V,将V分为许多小的?V，?V的表面积为?S 对于每个小的?V，据散度定义式 6、积分变换 一、高斯定理(Gauss’s Theorem) ： 它能把一个闭合曲面的面积分转为对该曲面所包围体积的体积分，反之亦然。 对空间任意曲面S，L为S边界线，将S分为许多小的?S，?S的边界为?L, 对于每个小的?S 二、斯托克斯定理 S dSi 据旋度的定义式 斯托克斯定理 式中L为S边界线，线积分的回转方向与面的正方向合乎右手螺旋关系 第二讲 数学准备知识 矢量场论复习、提高 1、场论基础（梯度、矢量场的散度和旋度） 2、算符（?）运算 3、并矢和张量 矢量场的Helmholtz定理 将算符 直接作用于标量场和矢量场，即分别得到梯度、散度和旋度，即 这些都叫一阶微分运算。 设 为源点 与场点 之间的距离，r 的方向规定为源点指向场点，试分别对场点和源点求r 的梯度。 （1）、一阶微分运算(First-order Difference Calculation) 举例： 场点（观察点） 场源点