自主招生专题辅导之解析几何教师版.docVIP

自主招生专题辅导之 解析几何 专题引导 解析几何是高中数学内容的一个重要组成部分。在解解析几何问题时，首先要熟练掌握直线与圆锥曲线方程的各种表示方法及适用范围，并能灵活地选择适当的表示方法以快捷地解题；其次要掌握各种方程中有关参数的意义及参数间的关系，此外，在具体解题时，要注意结合图形，观察图形的几何特征并灵活运用待定系数法，“设而不求”等常用方法。 学习要领 1.本专题对计算能力有一定的要求； 2.灵活运用二次曲线的有关性质可以简化计算； 3.数形结合是分析本专题问题的常用手段； 4.设而不求和韦达定理都是处理直线与圆锥曲线问题的重要方法。 2011-2012年自主招生北约、华约、卓约真题 （2011华约3）3.已知，过点(－1, 1)的直线l与相切，且(－1, 1)不是切点，则直线l的斜率为 ( ) (－1, 1)的图象上.设切点为， ，所以.另一方面， .所以x0＝1,所以.选C. （2011华约8）8. AB为过抛物线y2＝4x焦点F的弦，O为坐标原点，且，C为抛物线准线与x轴的交点，则的正切值为 ( ) 解法一：焦点F（1，0），C（－1，0），AB方程y ＝ x – 1，与抛物线方程y2 ＝ 4x联立，解得，于是 ，，答案A 解法二：如图，利用抛物线的定义，将原题转化为：在直角梯形ABCD中，∠BAD ＝ 45°，EF∥DA，EF ＝ 2，AF ＝ AD，BF ＝ BC，求∠AEB. .类似的，有 ， ，答案A14.已知双曲线分别为C的左右焦点.P为C右支上一点，且使. (I)求C的离心率e ； (II)设A为C的左顶点，Q为第一象限内C上的任意一点，问是否存在常数λ（λ0）,使得恒成立.若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由. 解：(I)如图，利用双曲线的定义，将原题转化为：在ΔP F1 F2中，，E为PF1上一点，PE ＝ PF2，E F1 ＝2a，F1 F2 ＝ 2c，求.设PE ＝ PF2 ＝ EF2 ＝ x，F F2 ＝ ， ，，. ΔE F1 F2为等腰三角形，，于是，. (II) （2011北约2） 2.求过抛物线两交点的直线方程. （2011北约6） 6.设C1和C2是平面上两个不重合的固定圆周，设C是该平面上的一个动圆，它与C1和C2均相切，问：C的圆心轨迹是何种曲线？证明你的结论。 （2011卓约5） 5.已知抛物线的顶点在原点,焦点在轴上,三个顶点都在抛物线上,且的重心为抛物线的焦点,若边所在的直线方程为,则抛物线方程为( A ) A.. B. C. D. （2011卓约13） 13.已知椭圆的两个焦点为,且椭圆与直线相切. (1)求椭圆的方程; (2)过作两条互相垂直的直线,与椭圆分别交于及,求四边形面积的最大值与最小值. 13.【解】设椭圆方程为,因为它与直线只有一个公共点, 所以方程组只有一解,整理得. 所以得. 又因为焦点为,所以联立上式解得 所以椭圆方程为. (2)若斜率不存在(或为0)时,则. 若斜率存在时,设为,则为. 所以直线方程为.设与椭圆交点坐标为 联立方程化简得. 则 所以 同理可得 所以 因为（当且仅当时取等号） 所以,也所以 所以综上所述,的面积的最小值为,最大值为2. （2012华约7）7．在底面半径为6的圆柱内，有两个半径为6的球面，两球的球心距为13。若作一平面与两球都相切，且与圆柱相交成一椭圆，则椭圆的长轴长为 A．5 B。12， C。13 D15 （2012华约6）6.已知是椭圆的左右焦点，点P为椭圆右准线上任意一点，若椭圆的离心率为，则的取值范围是： （2012华约13）13.已知都在中心为原点，离心率为，左焦点为的椭圆C上，已知与共线，与共线， （1）求椭圆方程； （2）试用直线PQ的斜率表示四边形PMQN的面积Ｓ，求Ｓ的最小值。 （2012北约5） 5.已知点A（-2,0），B（0,2），若点C是圆上的动点，求△ABC面积的最小值。 （2012卓越1）1.若以椭圆短轴的两个端点和长轴的一个端点为顶点的三角形是等边三角形，则椭圆的离心率为（ ） （2012卓越10） 10.设抛物线的焦点是F，A、B是抛物线上互异的两点，直线AB与x轴不垂直，线段AB的垂直平分线交x轴于点D（a，0），记. 证明a是p与m的等差中项。 B G C E D A F F E P F1 2a P 2c F22 x