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浅谈《有理数》一章中蕴含的几大数学思想 学大教育 尤 军 布鲁诺说：数学思想是数学的灵魂。 也有人曾这样比喻：数学知识好比是一颗大树的枝叶，而数学思想就好比这颗大树的枝干，树干为枝叶的良好生长提供了丰富、充足的养分。同样数学思想是数学知识的灵魂和纽带，它可以把若干数学知识串联起来。因此，我们在授课过程中除了加强基础知识、基本技能教学外，还应重视数学思想的渗透。 【有理数】一章是整个代数的基础，有理数的运算是初等数学的基本运算，可以说有理数一章是整个初中数学的奠基石。它又是学生进入初中的第一个学习内容，让学生明晰其中蕴含的数学思想，对今后的数学学习将产生深远的影响。 本章主要蕴含以下几大数学思想： 一，分类讨论的思想。 分类讨论思想是在对数学对象进行分类中寻求解答的一种思维方法。 本章中多处体现，如： 1，有理数的分类：（1）按定义分，（2）按正负性分。 2，有理数的加法运算法则：（1）同号两数相加，（2）异号两数相加，（3）零与任何数相加。 3，绝对值的意义:正数的绝对值是其本身，（2）负数的绝对值是其相反数，（3）零的绝对值是零。 我们还可以结合练习渗透这种思想 例：1，若a是有理数，︱a︱-a可能是负数吗？ 2， 已知 ︱ a︱=3 ， ︱ b︱=5,求a+b的值 3，在式子 中由不同的x值代入，得到相应的值，所有这些值中最小值为＿＿＿＿。 运用分类讨论思想研究问题是非常有效的，可以使研究的问题更加清晰明了，但分类时 须遵循标准统一，不重复，不遗漏。 二， 数形结合思想。 数形结合”是把比较抽象的代数问题与适当的图形结合起来，借助形象思维去认识、处理问题的一种思想方法。本章中，数轴上的点表示有理数就是最简的数形结合思想的运用，相反数概念、绝对值概念，有理数大小比较，以及有理数的加法、有理数的乘法等a0,b0, ︱a︱＜︱b︱,用“＜”号把a,－a,b,－b连接起来。 3， 李明从甲地到乙地，先以每小时12千米速度走下坡路，再以每小时9千米的速度走平路，到达乙地共用55分钟，然后从乙地返回，在返回途中，先以每小时8千米速度走平路，再以每小时4千米速度走上坡路，到达甲地共用时间1小时30分，求甲、乙两地之间的路程。 〖分析〗由题意画出行程路线示意图。 化归思想 所谓“化归”就是将要解决的问题转化为另一个较易问题或已经解决的问题，具体地说就是把“新知识”转化为“旧知识”，把“未知”转化为“已知”，把“复杂”问题转化为“简单”问题。 当有理数的加法和乘法学过之后， 有理数的减法可借助相反数的作用转化为有理数的加法， 有理数的除法可借助倒数转化为有理数的乘法， 本章中，通过“绝对值”的概念和符号法则，把有理数的运算转化为非负有理数（即小学学过的算术）的运算来解决，这是非常重要的思想方法 。 首先让学生弄清楚符号“－”的三种作用．①运算符号，如5－3表示5减3，2－4表示2减4；②性质符号，如－1表示负1，5+(－3)表示5加上负3；③在某个数前面加上“－”号，表示该数的相反数，如－3表示3的相反数，－(－3)表示－3的相反数，－a表示a的相反数． 如：（－3）－（－5）＝ 5，4 四，整体思想 用整体思想解题可以使复杂的问题变得简单，可以解决按常规方法解决不了的一些问题。 整体分组 计算 1-2-3+4+5-6-7+8+……+97-98-99+100 发现：数值的绝对值是连续整数，符号4个一组循环，把4个一组数作为一个整体 整体换元 求 2+2+2+2+2 设x=2+2+2+2+2 (1) 则2x=2+2+2+2+2 （2） 用（2）-（1）即可 五，集合思想 集合：某些指定的对象集在一起就成为一个集合。例如：某个班的全体学生，可以看成一个集合，某个书架上的所有书籍，可以当成一个集合。有时用集合思想来处理数学问题表现得更直观，更简洁，更深刻。 所有的正数组成正数集合，所有的负数组成负数集合，把下列各数填入相应的集合中： 六，对应思想 “对应”是数学中一个基本的不定义的概念。但对应思想在初中数学中广泛应用，就初一学生而言，主要要求学生掌握数轴上的点与有理数之间是对应关系。 【例5】（1）在数轴上画出表示下列各数的点。 3，－1.5，0，3／4，－3.5 （2）指出数轴上A,B,C,D各点分别表示什么数。 七， 注意非负性原理的应用。 如（ a-2）的绝对值与（ 3- b）的绝对值互为相反数，求a,b 八， 由特殊到一般的思想方法解题 如 1+1=1×2，2+2=2× 2，3+3=3× 2……请你将猜到的规律用自然数n表示出来