第5讲导数及其应用答案.docVIP

第5讲 导数及其应用 高考重点：导数的几何意义（曲线的切线），导数的应用（求函数的单调区间，极值，最值问题）． 特别提醒：注意等价转化与分类讨论的数学思想． 三 、考点分析 考点一：定积分的应用 例　已知f(a)＝1(2ax2－a2x)dx，则函数f(a)的最大值为________． 思维启迪 根据微积分基本定理求出关于x的定积分，这是一个含有参变量a的函数，再求这个函数的最大值即可． 解析　f(a)＝(2ax2－a2x)dx ＝|1＝－a2＋a， 这个关于a的二次函数当a＝－＝时取得最大值，即所求的最大值是f ＝－×＋×＝.故填. 函数f(x)＝x (t2－4t)dt在[－1,5]上的最大值和最小值情况是(　　) A．有最大值0但无最小值B．有最大值0和最小值－C．有最小值－但无最大值D．既无最大值又无最小值 解析　定积分中的积分变量是t，根据微积分基本定理得f(x)＝x(t2－4t)dt＝|x＝x3－2x2，这个函数的导数f′(x)＝x2－4x，由此得函数f(x)的极大值点是x＝0，极小值点是x＝4，由f(－1)＝－，f(0)＝0，f(4)＝－，f(5)＝－可知，函数在区间[－1,5]上有最大值0、最小值－. 例　已知曲线y＝x3＋. (1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P(2,4)的切线方程． 思维启迪 “该曲线过点P(2,4)的切线”与“该曲线在点P(2，4)处的切线方程”是有区别的：过点P(2,4)的切线中，点P(2,4)不一定是切点；在点P(2,4)处的切线中，点P(2,4)是切点． 解　(1)所求切线的斜率为y′|x＝2＝22＝4，故所求的曲线的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0. (2)设曲线y＝x3＋与过点P(2,4)的切线相切于点A，则切线的斜率为k＝y′|x＝x0＝x，切线方程为y－＝x(x－x0)， 因为点P(2,4)在切线上， 所以4－＝x(2－x0)，解得x0＝2或x0＝－1， 故所求的切线的方程为：4x－y－4＝0或x－y＋2＝0. 例3 已知函数f(x)＝x3＋mx2＋nx－2的图象过点(－1，－6)，且函数g(x)＝f′(x)＋6x的图象关于y轴对称． (1)求m、n的值及函数y＝f(x)的单调区间； (2)若a0，求函数y＝f(x)在区间(a－1，a＋1)内的极值． 维启迪 (1)根据f(x)、g(x)的函数图象的性质，列出关于m、n的方程，求出m、n的值．(2)分类讨论．解　(1)由函数f(x)的图象过点(－1，－6)， 得m－n＝－3.① 由f(x)＝x3＋mx2＋nx－2， 得f′(x)＝3x2＋2mx＋n， 则g(x)＝f′(x)＋6x＝3x2＋(2m＋6)x＋n. 而g(x)的图象关于y轴对称，所以－＝0， 所以m＝－3.代入①得n＝0. 于是f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)． 由f′(x)0得x2或x0， 故f(x)的单调递增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)； 由f′(x)0，得0x2， 故f(x)的单调递减区间是(0,2)． (2)由(1)得f′(x)＝3x(x－2)， 令f′(x)＝0得x＝0或x＝2. 当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表： x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)  极大值  极小值  由此可得： 当0a1时，f(x)在(a－1，a＋1)内有极大值f(0)＝－2，无极小值； 当a＝1时，f(x)在(a－1，a＋1)内无极值； 当1a3时，f(x)在(a－1，a＋1)内有极小值f(2)＝－6，无极大值； 当a≥3时，f(x)在(a－1，a＋1)内无极值． 综上得，当0a1时，f(x)有极大值－2，无极小值； 当1a3时，f(x)有极小值－6，无极大值； 当a＝1或a≥3时，f(x)无极值． 函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，过曲线y＝f(x)上的点P(1，f(1))的切线方程为y＝3x＋1. (1)若y＝f(x)在x＝－2时有极值，求f(x)的表达式； (2)在(1)的条件下，求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值； (3)若函数y＝f(x)在区间[－2,1]上单调递增，求实数b的取值范围． 解　(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c求导数得f′(x)＝3x2＋2ax＋b. 过y＝f(x)上点P(1，f(1))的切线方程为y－f(1)＝f′(1)(x－1)，即 y－(a＋b＋c＋1)＝(3＋2a＋b)(x－1)． 而过y＝f(x)上点P(1，f(1))的切线方程为y＝3x＋1. 故 即 ∵y＝f(x)在x＝－2时有极值， 故f′(－2)＝0. ∴－4a＋b＝－12.③ 由①②③联立解得a＝2，b＝－4