2010年浙江省和全国竞赛试卷(6份).docVIP

2010年浙江省微积分（经管类）竞赛试题 （70分）计算下列各题： 求极限 ； 计算； 设三角形是锐角三角形，包括直角三角形，求 的最大值和最小值； 计算，其中 ； 设连续，满足，求． （20分）设为正三角形的面积， 是正三角形内如图排列的与 相切的行小圆的面积之和， 求极限． （20分）设，是5次多项式，证明1)必有极值 点; 2)必有奇数个极值点. （20分）证明 （20分）设，求． 2010年浙江省微积分（工科类）竞赛试题 （70分）计算下列各题： 求极限 ； 计算 设三角形是锐角三角形，包括直角三角形，求 的最大值和最小值； 设分段光滑简单闭曲线在平面上，求 其中与的方向成右手系． 设连续，满足，求． （20分）设，求． （20分）设圆盘随时间变化，圆盘中心沿曲线 向空间移动，圆盘的法向量与的切向一致，圆盘的半径，求在内变化，圆盘所扫过的空间面积． （20分）证明 （20分）证明，． 2010年浙江省微积分（数学类）竞赛试题 （70分）计算下列各题： 求极限 ； 计算，； 求和使得圆在椭圆内的充分必要条件，并且求 此时椭圆的最小面积； 设分段光滑简单闭曲线在平面上，求 其中与的方向成右手系． 设连续，满足，，求． （20分）设，求． （20分）设，，，则 （20分）设在上非负，，，证明 （1），，（2）． （20分）设是非负整数集，若对内的加法封闭，即当时， 总有，且内的所有元素的最大公约数是1，证明存在正整数使得，当时，都有． 2010年浙江省微积分（文专类）竞赛试题 （70分）计算下列各题： 求极限 ； 计算，； 求和使得圆在椭圆内的充分必要条件，并且求 此时椭圆的最小面积； 设是由抛物线与直线所围成，求绕轴旋转一周所成 的体积； 设连续，满足，求． （20分）设为正三角形的面积， 是正 三角形内如图排列的与相切的行小圆 的面积之和，求极限． 计算． （20分）设，求． （20分）设，证明1)必有极值点; 2)必有奇数个极值点． 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷 （非数学类，2010） （25分）计算下列各题： 设，其中，求． 求极限 ； 设，求； 设函数有二阶连续导数，，，求； 求由直线与直线的距离． （15分）设函数在上具有二阶导数，并且， ，，且存在一点，使得，证明： 方程在恰有两个根． （15分）设函数由参数方程所确定，且 具有二阶连续导数，曲线与在处相切，求函数． （15分）设，，证明： 当时，级数收敛； （2）当，且时，级数发散． （15分）设是过原点、方向为（其中）的直线，均匀椭球（其中，密度为1）绕旋转． 求其转动惯量； 求其转动惯量关于方向的的最大值和最小值． （15分）设函数有连续的导数，在围绕原点的任意光滑简单闭曲线上，曲线积分的值为常数 设为正向闭曲线.证明； 求函数； 设是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求. 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷 （数学类，2010） （10分）设，，（），证明 存在，且为方程的唯一根． （15分）设.证明矩阵方程无解，这里为三 阶未知的复方阵． （10分）设是凸区域，是凸函数证明或否定：是 连续函数．注；是凸函数的定义是以及成立 . （10分）设函数在上Riemann可积，在处可导，， .证明. （15分）已知二次曲面（非退化）过以下九点：，， ，，，，，，.问是哪一类曲面？ （20分）设为实矩阵（未必对称），对任一维实向量 ，（这里表示的转置），且存在维实向 量使得.同时对任意维实向量和，当时有.证明：对任意实向量，都有. （10分）设函数在区间上Riemann可积，.求证：对 任何，存在只取值为0和1的分段（段数有限）常值函数，使得， （10分）已知是一个严格单调下降的连续函数， 满足，且，其中是的反函数.求证：. 6